obliczenie eksponente

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Jacek_fizyk »

hej! Czy ktos moze mi podpowiedziec
trzeba obliczyc \(\displaystyle{ e^{tA}}\)

majac matryce \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&2&\\-1&4\end{array}\right]}\)

wartosci wlasne macierzy to

\(\displaystyle{ \lambda_{1}= 2}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}= 3}\)

macierz wektorow wlasnych


\(\displaystyle{ A_{1}= \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right]}\)

i moje pytanie, czy ktos moze mi pokazac jak zastosowac wzor do obliczenia \(\displaystyle{ e^{tA} = e^{{\lambda t I+t A_{1}}}= e^{{\lambda t I^}}} e^{{t A_{1}}}=e^{{\lambda t}}}(I+A_{1})}\)

czy ktos mi moze pokazac jak to dalej rozwiazac?
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 29 wrz 2009, o 19:26 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
miodzio1988

obliczenie eksponente

Post autor: miodzio1988 »

Czym jest lambda w tym Twoim wzorze(tym ostatnim)? Z czyms takim się jeszcze nie spotkalem , ale moze pomogę
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Jacek_fizyk »

lambda to wartosc wlasna macierzy,
tylko ze dotad mielismy przyklady w ktorych macierz posiadala podwojna wartosc wlasna (podwojny pierwiastek) a dla takich macierzy niemozliwa jest diagonalizacja (z uwagi na jednowymiarowa przestrzen wlasna), jest spelniony za to warunek \(\displaystyle{ A^2= 0}\) i wtedy liczenie jest duzo prostsze.
A miales juz kurs algebry liniowej II?
miodzio1988

obliczenie eksponente

Post autor: miodzio1988 »

Wiem co to jest wartosc własna kolego. Wszystko z algebry juz mialem tylko nie spotkalem się z pojeciem eksponanty
\(\displaystyle{ e^{tA} = e^{{\lambda t I+t A_{1}}}= e^{{\lambda t I^}}} e^{{t A_{1}}}=e^{{\lambda t}}}(I+A_{1})}\)
O to mi chodzi. Co tutaj oznacza lambda? Wartosc własną , ale ktorą?
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Jacek_fizyk »

miodzio1988 pisze:Wiem co to jest wartosc własna kolego. Wszystko z algebry juz mialem tylko nie spotkalem się z pojeciem eksponanty
\(\displaystyle{ e^{tA} = e^{{\lambda t I+t A_{1}}}= e^{{\lambda t I^}}} e^{{t A_{1}}}=e^{{\lambda t}}}(I+A_{1})}\)
O to mi chodzi. Co tutaj oznacza lambda? Wartosc własną , ale ktorą?

no wlasnie napisalem ze to jest podwojna wartosc (istnieja matryce dla ktorych istnieja tzw 'podwojne wartosci wlasne' , chyba jednak nie miales wszystkiego 8-) skoro nie spotkales sie eksponenta matrycy.
No nic ja sprobuje to rozwiazac, a przy okazji podaje def

\(\displaystyle{ e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^nA^n}{n!}}\) gdzie A oznacza macierz kwadratowa,
pozdrawiam
miodzio1988

obliczenie eksponente

Post autor: miodzio1988 »

Myslalem, że z moją obecną wiedzą pomoge jednak Ale tematem się zaineteruję. Powodzenia zyczę.
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Kamil_B »

Coby temat nie został bez rozwiązania to może coś napiszę :
Przyjmijmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\-1&4\end{array}\right] \ \
P= \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P^{-1}}\)-macierz odwrotna do \(\displaystyle{ P}\)\(\displaystyle{ \\ \\}\)
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&3\end{array}\right]}\)-macierz Jordana macierzy A
Wówczas:
\(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\)
skąd mamy:
\(\displaystyle{ e^{A}=Pe^{J}P^{-1} \\}\)
gdzie \(\displaystyle{ e^{J}=\left[\begin{array}{cc}e^{2}&0\\0&e^{3}\end{array}\right]}\)
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Jacek_fizyk »

Kamil_B pisze:Coby temat nie został bez rozwiązania to może coś napiszę :
Przyjmijmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\-1&4\end{array}\right] \ \
P= \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ P^{-1}}\)-macierz odwrotna do \(\displaystyle{ P}\)\(\displaystyle{ \\ \\}\)
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{cc}2&0\\0&3\end{array}\right]}\)-macierz Jordana macierzy A
Wówczas:
\(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\)
skąd mamy:
\(\displaystyle{ e^{A}=Pe^{J}P^{-1} \\}\)
gdzie \(\displaystyle{ e^{J}=\left[\begin{array}{cc}e^{2}&0\\0&e^{3}\end{array}\right]}\)
¨¨Witaj Kamil B
Niestety rozwiazanie jest niepoprawne, w ten sposob sie tego nie rozwiazuje....
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Kamil_B »

Hmm może czegoś nie widzę ale w takim razie jak wygląda rozwiązanie ?
Jacek_fizyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 3 paź 2008, o 16:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 8 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Jacek_fizyk »

no wlasnie nie widzisz, tak jak wyzej napisalem jak sie znajduje taka matryce (dla ktorej mamy podwojna wartosc wlasna) i wlasnie w zwiazku z tym pojawil sie problem......musze sie dowiedziec jak zastosowac podany wzor do takiej wlasnie matrycy.
Jak znajde wiecej czasu to to rozwiaze sam i podam wtedy wynik
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Kamil_B »

Tak z ciekawości: z czego wynika ten wzór ?
Poza tym w swoim rozumowaniem uwzględniłem fakt dwóch różnych wartości własnych poprzez skorzystanie z macierzy Jordana.
Jeśli masz odpowiedź do tego zadania to napisz tutaj, to sprawdzę czy się zgadza z moją
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

obliczenie eksponente

Post autor: »

Nietrudno jest pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ v}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ \lambda}\) odpowiadającą mu wartością własną, to:
\(\displaystyle{ e^{tA} \cdot v = e^{\lambda t} \cdot v}\)

Mamy więc w naszym przykładzie:
\(\displaystyle{ e^{tA} \cdot \left[\begin{array}{c}1 \\ 1\end{array}\right] = e^{3t} \cdot\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}e^{3t}\\e^{3t}\end{array}\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ e^{tA} \cdot \left[\begin{array}{c}2 \\ 1\end{array}\right] = e^{2t} \cdot\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2e^{2t}\\e^{2t}\end{array}\right]}\)

Stąd
\(\displaystyle{ e^{tA} \cdot \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{cc}e^{3t}&2e^{2t}\\e^{3t}&e^{2t}\end{array}\right]}\)

czyli
\(\displaystyle{ e^{tA}=
\left[\begin{array}{cc}e^{3t}&2e^{2t}\\e^{3t}&e^{2t}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&1\end{array}\right]^{-1}}\)


Q.
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

obliczenie eksponente

Post autor: Kamil_B »

Niepotrzebie zasugerowałem się kolejnością wartości własnych z pierwszego posta.
Po poprawkach powinno być:
\(\displaystyle{ J=\left[\begin{array}{cc}3&0\\0&2\end{array}\right]}\)
oraz zapomniałem uwzględnić \(\displaystyle{ t}\) przy tej esponencie(tzn rozważyłem przypadek gdy \(\displaystyle{ t=1}\)), powinno byc:
\(\displaystyle{ e^{tA}=Pe^{tJ}P^{-1}}\)
Po przeliczeniu wynik zgadza się z tym co napisał , więc rozumowanie jest (chyba) ok
ODPOWIEDZ