Układ równań liniowych

[willrunner]

Dany jest układ równań liniowych postaci \(\displaystyle{ AX = B}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in M _{7 \times 5}}\) , \(\displaystyle{ B \in M _{7 \times 1}}\) i rząd \(\displaystyle{ A = 3}\). Wiadomo, że układ ten jest sprzeczny. Wynika stąd, że rząd \(\displaystyle{ [A|B]}\) może wynosić

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6

To jedno z zadań z mojego ostatniego egzaminu, którego, jak dotąd nie do końca rozumiem. Podobno (nie jestem pewien) prawidłowa odpowiedź to C i D, czyli 4 i 5. Moje rozumowanie jest takie: A. 2 odpada bo skoro rząd macierzy A = 3 to rząd [A|B] jest co najmniej 3. Skoro układ jest sprzeczny to B. 3 także odpada. Że C. 4 to się zgodzę, gdyż pewnikiem rząd jest większy od 3 i może jak najbardziej wynosić 4. Poprawności lub nie odpowiedzi D. 5 i E. 6 nie potrafię sobie uzasadnić.

[Inkwizytor]

literki z indeksami - liczby niezerowe
kropki - wartość nieistotna

dim(A) = 3 czyli da się sprowadzić A do postaci:
\(\displaystyle{ A_{7x5}=\left[\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&.&.\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&.&.\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&.&.\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0 \end{array}\right]}\)
Macierz rozszerzona o B. Wiemy że układ ma byc sprzeczny czyli wyglądać przynajmniej tak:
\(\displaystyle{ [A|B]_{7x6}=\left[\begin{array}{ccccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&.&.&|&b_1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&.&.&|&b_2\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&.&.&|&b_3\\0&0&0&0&0&|&b_4\\0&0&0&0&0&|&.\\0&0&0&0&0&|&.\\0&0&0&0&0&|&. \end{array}\right]}\)
zreszta za pomocą czwartego wiersza da się wyzerować 5, 6 i 7 wiersz.
Tak więc rząd A|B wychodzi 4. Ale może wypowiedzą się mądrzejsze głowy w tym temacie.