Znalezc wzor przeksztalcenia

[gaberus]

Znalezc wzor przeksztalcenia, jezeli:
\(\displaystyle{ \varphi: R^{3} \rightarrow R^{3}}\)
\(\displaystyle{ \varphi \left( 1,0,1 \right)= \left( 3,2,1\right)}\)
\(\displaystyle{ \varphi \left( 0,1,1 \right)= \left( -2,-1,0\right)}\)
\(\displaystyle{ \varphi \left( 1,1,0 \right)= \left( -2,3,-1\right)}\)


dziekuje z gory za pomoc
interesuje mnie bardziej metoda niz wynik

[Kamil_B]

Można np. tak ( zakładam , że \(\displaystyle{ \varphi}\) jest liniowe):
Obierasz sobie za B bazę standardową \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\) i wówczas korzystając z liniowości tego przekształcenia patrzysz jak zachowuje się ono na wektorach bazowych tzn.:
\(\displaystyle{ \varphi(1,0,1)=\varphi(1,0,0)+\varphi(0,0,1)}\)
analogicznie dla \(\displaystyle{ \varphi(0,1,1}\)) oraz \(\displaystyle{ \varphi(1,1,0)}\).
Teraz wyznaczasz z tego układu równań \(\displaystyle{ \varphi(1,0,0),\varphi(0,1,0),\varphi(0,0,1)}\) piszesz odpowiednią macierz i odczytujesz wzór analityczny.

[BettyBoo]

Można też od razu na macierzach. Po sprawdzeniu, że zadanie ma sens (wektory, na których określone są wartości przekształcenia muszą być liniowo niezależne) podane obrazy wpisujesz kolumnami do macierzy - i zgodnie z definicją to jest macierz M Twojego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ C=((1,0,1),(0,1,1),(1,1,0))}\) (w dziedzinie) oraz kanonicznej (w przeciwdziedzinie). Do szczęścia brakuje tylko, aby w dziedzinie też była baza kanoniczna - a to wystarczy załatwić macierzą P, która jest macierzą zmiany bazy przy przejściu od bazy C do kanonicznej (wektory bazy C wpisujesz po kolei kolumnami do macierzy i ja odwracasz). Ostatecznie macierzą Twojego przekształcenia w obu bazach kanonicznych jest MP, a z tego już widać wzór.

Pozdrawiam.