Różne wartości własne macierzy.

robal1024 · Post autor: **robal1024** » 22 wrz 2009, o 14:27

Czy zna ktoś twierdzenie, które jednoznacznie określa, kiedy macierz kwadratowa wymiaru n ma dokładnie n różnych wartości własnych i n różnych wektorów własnych?
Jeżeli takie twierdzenie nie istnieje, to prosiłbym chociaż, aby ktoś podał przykładowo klasę macierzy dla której zachodzi taka relacja (np. macierz unitarna, symetryczna itp). Zależy mi na maksymalnej ogólności.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 22 wrz 2009, o 15:20

Diagonalna macierz na pewno ma taką wlasnosc. Tylko, że na diagonali nie mogą się powtarzac liczby. A nad jakims twierdzeniem się zaraz pomysli;]

robal1024 · Post autor: **robal1024** » 22 wrz 2009, o 15:46

No niestety startujemy z macierzy niediagonalnej. Jak widać, nie jest to takie proste zadanko...

p_pokora · Post autor: **p_pokora** » 23 wrz 2009, o 22:27

Zacznij od analizowania wielomianu charakterystycznego . W ten sposób może uda Ci się znaleźć jakąś klasę macierzy o określonych własnościach.
Wydaje mi się, że chyba nie ma takiego twierdzenia, które w sposób jednoznaczny mówi o zależności o którą Ty pytasz. Wszyscy znamy tylko ten trick o macierzy symetrycznej.
Niby proste pytanie, a odpowiedź wręcz przeciwnie.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 23 wrz 2009, o 23:18

\(\displaystyle{ n}\) różnych wartości własnych łatwo - potrzeba i wystarcza, by wielomian charakterystyczny był względnie pierwszy ze swoją pochodną: \(\displaystyle{ \mbox{NWD}(\chi(x),\chi'(x))=1}\) (wystarczy algorytm Euklidesa i nie trzeba znajdowac pierwiastków, co może być beznadziejnie trudne). Wówczas również mamy \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów własnych.

W ogólności warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia \(\displaystyle{ n}\) niezależnych wektorów własnych jest diagonalizowalność macierzy. W praktyce diagonalizowalność łatwo sprawdzamy doprowadzając macierz do postaci Jordana, czyli/lub np. z użyciem tzw. uogólnionych wektorów własnych.

p_pokora · Post autor: **p_pokora** » 24 wrz 2009, o 00:37

Wydaje mi się, że również wystarczy zauważyć, że wyróżnik takiego wielomianu charakterystycznego jest różny od zera - nie mamy pierwiastków wielokrotnych. Jest to dość podobne, co kolega wcześniej napisał.
Czy to co napisałeś jest wystarczające ? A są przecież jeszcze problemy z krotnością arytmetyczną i geometryczną chyba, że się mylę.

xiikzodz · Post autor: **xiikzodz** » 24 wrz 2009, o 09:12

Tak jest. Żeby macierz o \(\displaystyle{ n}\) różnych wartościach własnych miała \(\displaystyle{ n}\) liniowo niezależnych wektorów własnych, wszystkie wartości własne muszą być niezerowe. Poza tym wszystko jak wyżej.

p_pokora · Post autor: **p_pokora** » 9 paź 2009, o 17:34

Wiem, że temat ten był dość dawno temu, ale udało mi się znaleźć dość ogólne twierdzenie Matjaza Omladica i Petra Smerla (słoweńscy matematycy). Twierdzenie brzmi następująco :
Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie przestrzenią macierzy \(\displaystyle{ n \times n}\), której wymiar jest nie mniejszy, niż \(\displaystyle{ n^{2} - n +1}\). Wtedy istnieje macierz odwracalna \(\displaystyle{ T \in L}\) taka, że posiada dokładnie n różnych wartości własnych. Twierdzenie nie jest książkowe oczywiście i stosunkowo nowe, bo z 1998 roku. Można je znaleźć (dowód tego twierdzenia) w Linear Algebra and its Application 285 (1988), albo ode mnie na priva.
Pozdrawiam