wektory własne endomorfizmu

dkoziatek · Post autor: **dkoziatek** » 18 wrz 2009, o 23:22

Proszę o pomoc w zadaniu.
znaleźć wektory własne endomorfizmu liniowego\(\displaystyle{ h:R^2->R^2 o macierzy \begin{bmatrix} 2&2\\3&1\end{bmatrix}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 wrz 2009, o 23:32

Wiesz co to jest wartosc wlasna? Google i wyszukiwarka. Pewien wyznacznik musisz policzyc

dkoziatek · Post autor: **dkoziatek** » 18 wrz 2009, o 23:35

A to się robi tak samo jak szukanie wartości własnych??
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2-x&2\\3&1-x\end{bmatrix}}\) i z tego wyliczyć wyznacznik??

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 wrz 2009, o 23:37

Wydaję mi się , ze tak. Ale poczekaj na jeszcze jedno potwierdzenie

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 19 wrz 2009, o 00:00

dkoziatek pisze:A to się robi tak samo jak szukanie wartości własnych??
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2-x&2\\3&1-x\end{bmatrix}}\) i z tego wyliczyć wyznacznik??

Tak, w ten sposób znajdujesz wartości własne.
Znajdz je a potem znajdź wektory własne.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 wrz 2009, o 00:02

To teraz mozesz smialo dkoziatek, to tak robic Potwierdzenie jest i to u dobrego zrodla

dkoziatek · Post autor: **dkoziatek** » 19 wrz 2009, o 00:06

Wyszło mi że x1= -1 a x2=4
Coś jeszcze trzeba zrobić??

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 19 wrz 2009, o 00:16

Mi też wyszły takie wartości własne.
Teraz pora na wektorki własne.
Szukamy ich z definicji rozwiązyjąc równanie macierzowe:
\(\displaystyle{ (A-\lambda_{1}I)v=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) to macierz tego funkcjonału, \(\displaystyle{ \lambda_{1}}\) to wartość własna a \(\displaystyle{ v}\) to szukany wektor wlasny.
Analogicznie dla drugiej wartości własnej.

PS. Z tym dobrym źródłem to bym nie przesadzał

dkoziatek · Post autor: **dkoziatek** » 19 wrz 2009, o 00:22

Patrze myślę i nie wiem jak to rozwiązać:(

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 19 wrz 2009, o 00:25

Wiesz ile wynosi \(\displaystyle{ A-\lambda I}\) ?
Podstaw sobie \(\displaystyle{ v=[x,y]}\).
Potrafisz mnożyć macierze?

dkoziatek · Post autor: **dkoziatek** » 19 wrz 2009, o 13:47

Nie wiem nie rozumiem tych wzorów
Pomoże ktoś??

bennyy · Post autor: **bennyy** » 21 wrz 2009, o 15:19

Podstawiłem do wzoru i wyszło \(\displaystyle{ x=y}\) w przypadku własności \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 3x+2y=0}\) w przypadku własności \(\displaystyle{ -1}\).Nie wiem jak to zapisać w rozwiązaniu.
Czy moge to tak zapisać, że rozwiązaniem jest każdy wektor w postaci:

\(\displaystyle{ t \in R}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1\\1\end{array}\right]t}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2}{3} \\1\end{array}\right]t}\)

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 21 wrz 2009, o 15:35

Tak, w sumie mozna tak to zapisac przy czym warto zaznaczyc które rozwiązanie dotyczy jakiej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\).
Stąd juz łatwo widac odpowiednie wektory własne: \(\displaystyle{ [1,1]}\) dla \(\displaystyle{ \lambda_{1}=4}\) oraz \(\displaystyle{ [-\frac{2}{3},1]}\) dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}=-1}\).