Egzamin komisyjny z Algebry liniowej II

[askka]

hej,
szykuje się mi niedługo egzamin komisyjny z algebry liniowej II i chciałabym prosić was o pomoc w rozwiązaniu zadań, bo teorie mam opracowaną, ale z zadaniami mi słabo idzie... jak byście mogli rozwiązać te zadania z komentarzem albo po prostu po kolei jak co się robi w tych zadaniach,tak bym mogła zrozumieć o co chodzi (jednak ponad 2 miesiące bez algebry robi swoje ;/ ), byłabym wielce wdzięczna za pomoc.

A oto zadania:

1.
Czy przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:R^{2} \rightarrow R^{3}}\) zadane wzorem \(\displaystyle{ f([x,y])=[x+y,2x,x-2y]}\) jest różnowartościowe? Czy jest "na" ? Odpowiedź uzasadnij.

2.
Czy istnieje przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:R^{4} \rightarrow R^{3}}\), które jest epimorfizmem i jednocześnie \(\displaystyle{ kerf=lin_{R}([0,2,0,3],[0,1,2,3],[0,0,1,0])}\) ? Odpowiedź uzasadnij.

3.
Wyznaczyć macierz przekztałcenia liniowego \(\displaystyle{ f:R^{3} \rightarrow R^{2}}\) zadanego wzorem \(\displaystyle{ f([x,y,z])=[x+z,y+z]}\) w bazach \(\displaystyle{ ( \alpha_{1}=[1,0,1], \alpha_{2}=[0,1,1], \alpha_{3}=[0,0,1])}\) oraz \(\displaystyle{ \beta_{1}=[1,1], \beta_{2}=[1,0])}\).

4.
Macierzą automorfizmu \(\displaystyle{ f:R^{3} \rightarrow R^{3}}\) w bazie kanonicznej jest macierz \(\displaystyle{ F=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&3\\0&1&2\end{array}\right]}\).Macierz homomorfizmu \(\displaystyle{ g:R^{3} \rightarrow R^{2}}\) w bazach kanonicznych jest macierz \(\displaystyle{ G=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&0&4\end{array}\right]}\). Wyznaczyć macierz homomorfizmu \(\displaystyle{ g\circ f:R^{3} \rightarrow R^{2}}\) w bazach kanonicznych oraz jego wzór analityczny. Wyznaczyć macierz automorfizmu \(\displaystyle{ f^{-1}:R^{3} \rightarrow R^{3}}\) w bazie kanonicznejoraz jego wzór analityczny.

5.
W przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) macierzą przejścia od bazy \(\displaystyle{ (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})}\) do bazy \(\displaystyle{ (\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})}\) jest macierz \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\). w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{2}}\) dane są dwie bazy \(\displaystyle{ (\gamma_{1}=[1,1],\gamma_{2}=[1,-1])}\) oraz \(\displaystyle{ (\delta_{1}=[2,0],\delta_{2}=[0,2])}\). Macierzą przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f:R^{3} \rightarrow R^{2}}\) w bazach \(\displaystyle{ (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})}\) oraz \(\displaystyle{ (\gamma_{1},\gamma_{2})}\) jest macierz \(\displaystyle{ F=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&1&-1\end{array}\right]}\). Wyznaczyć macierz przekształcenia \(\displaystyle{ f}\) w bazach \(\displaystyle{ (\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3})}\) oraz \(\displaystyle{ (\delta_{1},\delta_{2})}\).


6.
W pewnej bazie przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f:R^{3} \rightarrow R^{3}}\) jest macierz \(\displaystyle{ F=\left[\begin{array}{ccc}2&0&1\\0&5&0\\-1&0&4\end{array}\right]}\). Wyznaczyć wartości własne endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\).

7.
Wskazać przykład endomorfizmu, który nie posiada wartości własnych.

8.
Macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f:R^{6}\rightarrow R^{6}}\) w bazie \(\displaystyle{ (\alpha_{1},\alpha_{2}, ... \alpha_{6})}\) jest macierz \(\displaystyle{ F=\left[\begin{array}{cccccc}0&2&0&0&0&0\\2&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&3&0&3\\0&0&0&0&3&0\\0&0&0&3&0&3\end{array}\right]}\). Rozłożyć przestrzeń\(\displaystyle{ R^{6}}\) na sumę prostą niezerowych podprzestrzeni \(\displaystyle{ f}\)-niezmienniczych.

9.
Wskazać przykład przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) która nie jest izomorficzna ze swoim sprzężeniem \(\displaystyle{ V^{*}}\). Jak w tym przykładzie wygląda przestrzeń sprzężona \(\displaystyle{ V^{*}}\)?

10.
Wyznaczyć macierz funkcjonału dwuliniowego \(\displaystyle{ \zeta:R^{3}\times R^{2}\rightarrow R}\) zadanego wzorem \(\displaystyle{ \zeta([x_{1},x_{2},x_{3}], [y_{1},y_{2}]) = x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} + x_{3}y_{1} + x_{3}y_{2}}\) w bazach \(\displaystyle{ (\alpha_{1}=[1,2,1], \alpha_{2}=[0,2,1], \alpha_{3}=[0,0,1])}\) oraz \(\displaystyle{ (\beta_{1}=[1,1], \beta_{2}=[1,-2])}\).

11.
Wyznaczyć macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ F(x,y,z)=x^{2} + 5y^{2} + 2z^{2} - 2xy -6yz}\). Czy jest ona istotnie dodatnia? Odpowiedź uzasadnij.

12.
Czy przestrzeń liniowa \(\displaystyle{ R^{2}}\) wraz z funkcjonałem dwuliniowym \(\displaystyle{ \zeta:R^{2}\times R^{2}\rightarrow R}\) zadanym wzorem \(\displaystyle{ \zeta([x_{1},y_{1}], [x_{2},y_{2}]) = x_{1}x_{2} + x_{1}y_{2} + y_{1}x_{2} + 4y_{1}y_{2}}\) jest przestrzenią euklidesową? Odpowiedź uzasadnij.

13.
Wyznaczyć wartości własne oraz odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych endomorfizmu \(\displaystyle{ f:R^{4}\rightarrow R^{4}}\) zadanego wzorem \(\displaystyle{ f([x,y,z,t]) = [-4x + y, -x - 2y, z + t, -z + 3t]}\). Czy z wektorów własnych endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) mozna utworzyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\)? Odpowiedź uzasadnij.

14.
Wyznaczyć postać Jordana \(\displaystyle{ J(A)}\) macierzy \(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}2&0&0&0\\0&2&0&0\\1&1&2&0\\0&0&1&2\end{array}\right]}\).

15.
Niech\(\displaystyle{ V, W, U}\) będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem \(\displaystyle{ K}\) i niech \(\displaystyle{ f:V\rightarrow W, g:W\rightarrow U}\) będą przekształceniami liniowymi. Pokazać, że dla przekształceń sprzężonych zachodzi \(\displaystyle{ (g \circ f)^{*}=f^{*} \circ g^{*}}\).

16.
Sosując metodę Lagrange'a sprowadzić do postaci kanonicznej forme kwadratową \(\displaystyle{ F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{4} + x_{4}x_{1}}\).

17.
Niech \(\displaystyle{ f:V\rightarrow V}\) będzie automorfizmem przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) (niekoniecznie skończenie wymiarowej) nad ciałem \(\displaystyle{ K}\). Czy prawdą jest, że każda\(\displaystyle{ f}\)-niezmiennicza podprzestrzeń przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) jest także \(\displaystyle{ f^{-1}}\)-niezmiennicza ?

18.
Niech \(\displaystyle{ f:V\rightarrow V}\) będzie endomorfizmem przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) wymiaru \(\displaystyle{ n\epsilon N}\) nad ciałem liczb zespolonych \(\displaystyle{ C}\). Udowodnić,że dla każdego \(\displaystyle{ m \leqslant n}\) istnieje \(\displaystyle{ f}\)-niezmiennicza podprzestrzeń \(\displaystyle{ W \subseteq V}\) wymiaru \(\displaystyle{ dim_{C}W = m}\).

[argv]

7.
Wskazać przykład endomorfizmu, który nie posiada wartości własnych.

jesli chodzi o brak w.w. rzeczywistych to mam taki przyklad:

\(\displaystyle{ \varphi : R^{2} \rightarrow R^{2}, \varphi(x_{1}, x_{2}) = (-x_{2}, x_{1})}\)
nie ma wartosci wlasnych rzeczywistych, bo \(\displaystyle{ \varphi}\) jest obrotem o kat \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

[mol_ksiazkowy]

ad 1

\(\displaystyle{ f}\) jest róznowartosciowa, (\(\displaystyle{ f}\)jest liniowa , i \(\displaystyle{ ker f =\{0 \}}\) ), a wiec \(\displaystyle{ Im(f)}\) (obraz )ma wymiar 2, tj, nie jest "na", np nie istnieja \(\displaystyle{ (x,y)}\) takie ze
\(\displaystyle{ f(x,y)=(1,2,2)}\)
Powodzenia na egzaminie

[argv]

3.

Ostatnie posty np w tym temacie: https://matematyka.pl/136104,25.htm oraz wiele innych - na forum w ostatnim czasie sie pojawilo o tej tematyce

4.

\(\displaystyle{ M(g\circ f) = M(g) \cdot M(f)}\)

6.

\(\displaystyle{ w(\lambda) = det \left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda &0&1\\0&5 - \lambda &0\\-1&0&4 - \lambda\end{array}\right] =
(5 -\lambda) \cdot ((2-\lambda)(4-\lambda)+1) = (5-\lambda)(\lambda - 3)^{2}}\)

Stad: \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 5}\), \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\)(w.w. podwojna)\(\displaystyle{ = 3}\)

[magister]

zad. 16 masz dobrze opisane na stronie 2 artykułu:
... ratowe.pdf-- 15 wrz 2009, o 23:37 --zad. 6

... osciWl.pdf

[mol_ksiazkowy]

ad 2

Nie istnieje, bo \(\displaystyle{ f: X \mapsto Y}\) liniowe to \(\displaystyle{ dim(x)=dim ker (f) +dim Im(f)}\)
tj gdy epi, to skoro \(\displaystyle{ dim (X)=4}\), wiec \(\displaystyle{ ker(f)}\) ma wymiar 1
(te trzy wektory rozpinajace sa liniowo niezalezne)

ad 16

\(\displaystyle{ (\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{2})^2- (\frac{x_1+x_3-x_2-x_4}{2})^2}\)

[mol_ksiazkowy]

11 wsk
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\-1&5&-3\\0&-3&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ F(x,y,z)= (x-y)^2 +4( (y-\frac{3}{4}z)^2 -(\frac{1}{4}z)^2 )}\)