macierze przekształceń

[marta.d]

Dana jest macierz \(\displaystyle{ M ^{A} _{B} (\varphi)= \left[\begin{array}{ccc}3&1&4\\1&-1&2\\1&1&1\end{array}\right]}\)

gdzie \(\displaystyle{ A=(u _{1} , u_{2} , u_{3} )}\)
\(\displaystyle{ B=(2u _{1}+ u_{2}, u _{1} - u_{2} + u_{3}, 3u _{1} + 2u_{3})}\)

Znaleźć: \(\displaystyle{ M ^{B} _{A} (\varphi) ,M ^{A} _{A} (\varphi), M ^{B} _{B} (\varphi)}\)
Proszę o wskazówki.

[Kamil_B]

Podam (możliwe, że na wyrost ale pewnie przyda się w przyszłości ) dośc ogólny 'wzorek':

Jeśli \(\displaystyle{ \varphi}\) jest przekształceniem liniowym, \(\displaystyle{ \varphi : V \rightarrow W}\) gdzie
\(\displaystyle{ V,W}\) -przestrzenie liniowe na pewnym ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) oraz
\(\displaystyle{ A,C}\)-bazy \(\displaystyle{ V}\) oraz
\(\displaystyle{ B,D}\)-bazy \(\displaystyle{ W}\) to wówczas zachodzi:

\(\displaystyle{ M_{C}^{D}=P_{B}^{D} \cdot M_{B}^{A} \cdot P_{C}^{A}}\)

gdzie \(\displaystyle{ M}\) to oczywiście macierze tego przekształcenia w odpowiednich bazach a \(\displaystyle{ P}\) macierze przejścia z odpowiednich baz

[marta.d]

Wzór jest mi znany, ale czy za jego pomocą można dojść do rozwiązania zadania? Jak na razie znalazłam tylko macierze przejścia z bazy A do B i na odwrót, ogólnie to stoję w miejscu;/

[Kamil_B]

Do znalezienia \(\displaystyle{ M ^{B} _{A} (\varphi)}\) wystarczy znaleźć \(\displaystyle{ (M ^{A} _{B})^{-1} (\varphi)}\) a nad pozostalymi chwilę się zastanowie

[marta.d]

Chodzi o macierz odwrotną tak? Też nad tym myślałam, ale wznacznik macierzy \(\displaystyle{ M ^{A} _{B}}\) wynosi zero.

[Kamil_B]

Chodzi o macierz odwrotną tak? Też nad tym myślałam, ale wznacznik macierzy \(\displaystyle{ M ^{A} _{B}}\) wynosi zero.

Interesujące A masz do tego jakieś odpowiedzi -wolę sie upewnić niż palnąć jakieś głupstwo

Tak poza tym to korzystając z tego wzorku , który podałem doszedłem do tego, że:
\(\displaystyle{ M_{B}^{B}=P_{B}^{B} \cdot M_{B}^{A} \cdot P_{B}^{A}}\)
oraz
\(\displaystyle{ M_{A}^{A}=P_{B}^{A} \cdot M_{B}^{B} \cdot P_{A}^{B}}\)

[marta.d]

ok doszłam do rozwiązania:D wiesz odpowiedzi niestety nie mam, ale znalazłam zadanie z bazami w postaci cyferek ( hahaha ;p ) oraz jawnym \(\displaystyle{ (\varphi)}\) i doszłam do tego, że:
\(\displaystyle{ M ^{B} _{A}=P ^{A} _{B}* M ^{A} _{B}*P ^{A} _{B}}\)
\(\displaystyle{ M ^{A} _{A} oraz M ^{B} _{B}}\) też już znalazłam:)

[Kamil_B]

A z ciekawości: \(\displaystyle{ M ^{A} _{A} oraz M ^{B} _{B}}\) się zgadzają z moimi czy nie ?

[marta.d]

tak, wyniki się zgadzają, jednakże ja zastosowałam inne wzorki:)
\(\displaystyle{ M ^{B} _{B}=M ^{A} _{B} P ^{A} _{B}}\)
\(\displaystyle{ M ^{A} _{A}= P ^{A} _{B} M ^{A} _{B}}\)

[Kamil_B]

tak, wyniki się zgadzają, jednakże ja zastosowałam inne wzorki:)
\(\displaystyle{ M ^{B} _{B}=M ^{A} _{B} P ^{A} _{B}}\)

No tak, przecież u mnie jest :
\(\displaystyle{ M_{B}^{B}=P_{B}^{B} \cdot M_{B}^{A} \cdot P_{B}^{A}}\) ale \(\displaystyle{ P_{B}^{B}}\) to po prostu macierz jednostkowa, zatem wszystko się zgadza