przekształcenie liniowe + diagonalizacja

[tigerrr]

niech \(\displaystyle{ f:}\)\(\displaystyle{ R^{3}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R^{3}}\) będzie przekształceniem liniowym takim, że \(\displaystyle{ f(1,0,1)=(0,2,-3), f(0,1,-2)=(2,-3,6), f(-2,1,-3)=(0,-3,5)}\). Znaleźć \(\displaystyle{ M_{c}^{c}}\)(f), gdzie \(\displaystyle{ C}\) jest bazą kanoniczną. Czy macierz \(\displaystyle{ M_{c}^{c}}\)\(\displaystyle{ (f)}\) jest diagonalizowalna? Jeśli tak to wyznacz macierze \(\displaystyle{ N}\) i \(\displaystyle{ D}\) takie, że \(\displaystyle{ D}\)=\(\displaystyle{ N^{-1}*M_{c}^{c}(f)*N}\) i \(\displaystyle{ D}\) jest diagonalna.

Wielka prośba o rozwiązanie krok po kroku. Dzięki.

[argv]

Najpierw wyznacz \(\displaystyle{ M(f)_{C}^{C}}\) gdzie C- standardowa.
Mozesz to zrobic np tak:

\(\displaystyle{ f(1,0,1)=(0,2,-3)}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,-2)=(2,-3,6)}\)
\(\displaystyle{ f(-2,1,-3)=(0,-3,5)}\)

1. Tworzysz macierz idac "wierszami" tzn:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&1&|&0&2&-3\\
0&1&-2&|&2&-3&6\\
-2&1&-3&|&0&-3&5\end{bmatrix}}\)

2. Sprowadzasz lewa strone do jednostkowej:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&0&|&x1&x2&x3\\
0&1&0&|&x4&x5&x6\\
0&0&1&|&x7&x8&x9\end{bmatrix}}\)

3. Stad widac, że:
\(\displaystyle{ f(1, 0, 0) = (x1, x2, x3)}\)
\(\displaystyle{ f(0, 1, 0) = (x4, x5, x6)}\)
\(\displaystyle{ f(0, 0, 1) = (x7, x8, x9)}\)

4. \(\displaystyle{ M(f)_{C}^{C} = M(f)_{st}^{st}}\) to te wektory ustawione w kolumny czyli:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
x1&x4&x7\\
x2&x5&x8\\
x3&x6&x9\end{bmatrix}}\)

[tigerrr]

Ok,

Zrobiłem jak napisałeś. Wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-2&-2\\-2&5&4\\4&-8&-7\end{array}\right]}\)

następnie po przekształceniach:

\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

z tego wynika, że wartości własne macierzy to
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=-2}\) \(\displaystyle{ \lambda_{2}=-1}\) \(\displaystyle{ \lambda_{3}=1}\)

po podstawieniu kolejnych wartości własnych do
\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2 -\lambda&0&0\\0&-1-\lambda&0\\0&0&1-\lambda\end{array}\right]}\)

otrzymujemy 3 wektory własne:

\(\displaystyle{ W_{-2}=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha\\0\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{-1}=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\\beta\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\\gamma\end{array}\right]}\)

co oznacza, że \(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=D}\), a \(\displaystyle{ N=}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Zgadza się wszystko czy coś pokręciłem?

[argv]

następnie po przekształceniach:

\(\displaystyle{ M_{c}^{c}(f)=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

To mi sie nie podoba ... jak na moj gusta nie mozesz tak sobie uproscic sprawy,
bo to zmienia wielomian charakterystyczny. "Po Bozemu" powinny wyjsc \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 1}\) (podwojna)

[tigerrr]

rzeczywiście, jak policzyłem na piechotę wielomian charakterystyczny to wychodzi tak jak mówisz -2 i 1 podwójne. Czy to oznacza, że nie można sobie upraszczać/modyfikować macierzy bo będzie to miało wpływ na wielomian charakterystyczny?

dalej licząc wektory charakterystyczne wychodzi:

\(\displaystyle{ W_{-2}=\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ W_{1}=\left[\begin{array}{ccc}0\\1\\-1\end{array}\right]}\)

to oznacza, że macierz nie ma postaci diagonalnej ponieważ te wektory nie tworzą bazy \(\displaystyle{ R^{3}}\) ?

[Kamil_B]

rzeczywiście, jak policzyłem na piechotę wielomian charakterystyczny to wychodzi tak jak mówisz -2 i 1 podwójne. Czy to oznacza, że nie można sobie upraszczać/modyfikować macierzy bo będzie to miało wpływ na wielomian charakterystyczny?

Niestety nie można upraszczać/modyfikować tak macierzy.
Zauważ, że przekształceniu w konkretnej bazie odpowiada konkretna macierz.
Zmieniając tą macierz zmieniamy ,chcąc nie chcąc, bazę tego przekształcenia lub wręcz samo przekształcenie.

[tigerrr]

Dzięki, trochę mi się to teraz wyklarowało Możecie powiedzieć mi jeszcze jak wygląda sprawa z wektorami własnymi i postacią diagonalną w tym zadaniu?