Wektory własne a krotność wartości własnych

[kjtk]

Dana jest macierz:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} -1&2&2\\2&2&-1\\2&-1&2\end{bmatrix}}\),
która ma 3 wartości własne: -3 i dwukrotnie 3.

Moje pytanie brzmi jak wygląda w takim przypadku sytuacja z wektorami własnymi? Dla -3 jest to np. \(\displaystyle{ \vec{v_{1}}=\begin{bmatrix} -2\\1\\1\end{bmatrix}}\), a dla 3 \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=\begin{bmatrix} 2\\1\\1\end{bmatrix}}\). Czy teraz \(\displaystyle{ \vec{v_{2}}=\vec{v_{3}}}\)?

[Yaco_89]

To znaczy że dla każdej wartości własnej podprzestrzeń własna jest generowana tylko przez 1 wektor i jej wymiar wynosi 1. W takiej sytuacji, gdy krotność wartości własnej jest większa niż wymiar jej podprzestrzeni własnej, macierz nie jest diagonalizowalna, można co najwyżej znaleźć postać Jordana szukając wektorów głównych.

[kjtk]

Dobrze, czyli gdybym miał podać wartości własne i wektory własne macierzy A to będą to trzy wartości, w tym jedna podwójna i dwa wektory?

[Yaco_89]

Wartości masz dwie, z czego jedna podwójna, natomiast wektorów własnych jest nieskończenie wiele, bo podane przez Ciebie wektory rozpinają odpowiednie podprzestrzenie własne, ja bym to zapisał jakoś tak, że dla wartości własnej -3 wektory własne mają postać \(\displaystyle{ \alpha \cdot \vec{v _{1} }}\), a dla 3 postać \(\displaystyle{ \beta \cdot \vec{v _{2} }}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha , \beta \in \mathbb{R}}\)

[kjtk]

No to już teraz wiem co i jak. Dzięki za pomoc