podaj wymiar obrazu i wymiar jądra funkcji

[marta.d]

Mamy funkcję liniową
f: \(\displaystyle{ R _{2} [x] \rightarrow R _{2} [x]}\)
określoną wzorem:
f(w)=(\(\displaystyle{ x^{2} +1) w ^{II} -2w}\)

Podaj wymiar obrazu oraz wymiar jądra tej funkcji.
Od czego trzeba zacząć? Byłabym wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.

[alef0]

tam widzę drugą pochodną wielomianu?

[marta.d]

tak, to jest druga pochodna wielomianu:)

[alef0]

co do obrazu:
bierzemy dowolny wielomian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\)
i liczymy obraz:
\(\displaystyle{ (x^2+1)2a-2ax^2-bx-c =-bx-c-2a}\)

stąd wymiar jest równy 2, bo wynik jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ x, 1}\)

[marta.d]

Czyli jeżeli wymiar obrazu wynosi 2 i wymiar przestrzeni również 2 to wymiar jądra 0, dobrze rozumiem?

[alef0]

wymiar przestrzeni to 3 (bazę tworzą na przykład: \(\displaystyle{ x^2, x, 1}\)

[marta.d]

Dzięki serdeczne:)