Macierz obrotu wokół 2 osi

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Shigon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 mar 2008, o 22:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1 raz

Macierz obrotu wokół 2 osi

Post autor: Shigon »

Update: Już nieaktualne. Poczyniłem błędne założenie, że to, czy najpierw dokonam obrotu wokół OZ a potem wokół OX, czy na odwrót, nie ma znaczenia. A ma, więc temat można usunąć/zamknąć.


Mam nadzieję, że uda mi się wyrazić poprawnie i zrozumiale.

Niech O = (0,0,0), natomiast OX, OY, OZ to wektory, przechodzące przez O, takie, że: OX = [1,0,0], OY = [0,1,0], OZ = [0,0,1].
Niech A = (x,y,z), gdzie x,y,z to dowolne liczby rzeczywiste. Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \beta}\) będą kątami.

Jeśli wektor [x,y,z] pomnożę przez macierz (*) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}cos\alpha&-sin\alpha&0\\sin\alpha&cos\alpha&0\\0&0&1\end{array}\right]}\) , to otrzymam wektor [x', y', z'] taki, że A' = (x', y', z') będzie punktem powstałym po obrocie punktu A wokół OZ o \(\displaystyle{ \alpha}\).

Jeśli wektor [x,y,z] pomnożę przez macierz (**) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&cos\beta&-sin\beta\\0&sin\beta&cos\beta\end{array}\right]}\), to otrzymam wektor [x'', y'', z''] taki, że A'' = (x'', y'', z'') będzie punktem powstałym po obrocie punktu A wokół OX o \(\displaystyle{ \beta}\).

Jeśli wektor [x,y,z] pomnożę przez macierz powstałą w wyniku mnożenia macierzy (*) przez macierz (**) to - jeśli się nie mylę - otrzymam wektor [x''', y''', z'''] taki, że A''' = (x''', y''', z''') będzie punktem powstałym po następujących operacjach: Najpierw obrót punktu A wokół OZ o \(\displaystyle{ \alpha}\) a następnie obrót powstałego punktu o \(\displaystyle{ \beta}\) wokół wektora powstałego przez obrót OX o \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół OZ.

Szukam macierzy M takiej, że po pomnożeniu przez nią wektora [x,y,z] otrzymam wektor [x*, y*, z*] taki, że A* = (x*, y*, z*) będzie punktem powstałym po następujących operacjach: Najpierw obrót punktu A wokół OZ o \(\displaystyle{ \alpha}\) a następnie obrót powstałego punktu o \(\displaystyle{ \beta}\) wokół OX. Jeśli się nie mylę po zmianie kolejności tych dwóch operacji, otrzymam ten sam punkt A*.

Moje pytania brzmią:
1. Czy istnieje taka macierz M?
2. W jaki sposób ją wyznaczyć?
3. Jaką ma postać?
ODPOWIEDZ