Określanie czy podzbiór jest podprzestrzenią liniową.

[Łukasz_1989]

Czy następujący podzbiór jest podprzestrzenią liniową w \(\displaystyle{ R^n}\)

V = { (\(\displaystyle{ x_1 , x_2 , ... , x_n}\)) w \(\displaystyle{ R^n}\) | \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} x_i = 1}\) }

Prosiłbym o dokładne rozwiązanie krok po kroku, ponieważ chcę wiedzieć jak się robi tego typu zadania a nie tylko mieć rozwiązanie tego przykładu.

PS Zależy mi na czasie.

[Till]

Czy aby napewno zadanie jest dobrze sformułowane?
Warunki na podprzestrzeń są np tu
Odrazu widać że nie, bo jeśli weźmiemy np x i y z V to \(\displaystyle{ x+y = (x_1+y_1,\ldots , x_n+y_n)}\) nie będzie już elmętem z V bo
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}(x_n+y_n)=\sum_{i=1}^{n}x_n + \sum_{i=1}^{n}y_n = 1 + 1 = 2}\)

[Łukasz_1989]

Jest dobrze sformułowane. Tam jest pytanie "Czy jest... ?" Widocznie ten podpunkt nie jest.
A jaki jest ogólny schemat rozwiązywania takiego typu zadania?

[Till]

Ogólnie bierzemy dwa dowolne elementy z V i sprawdzamy czy ich suma również należy do V,
następnie dowolny skalar i sprawdzamy czy iloczyn tego skalara i elementu z V należy do V.

[Łukasz_1989]

Innymi słowy, biorę jakieś \(\displaystyle{ \alpha (x_1 , x_2 , ... , x_n)+\beta (x_1, x_2 , ... , x_n)}\)
i sprawdzam czy należy do V.
Następnie biorę \(\displaystyle{ \alpha (x_2 , x_2 , ... , x_3)}\) i sprawdzam czy należy do V, tak?
Czy może biorę konkretne wektory?

[scyth]

Albo bierzesz pełną kombinację liniową, czyli dwa niezerowe wektory \(\displaystyle{ \vec{u}, \ \vec{v}}\) oraz dwie liczby \(\displaystyle{ \alpha, \ \beta \ne 0}\) i sprawdzasz, czy \(\displaystyle{ \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\in V}\), albo rozbijasz to na dwa kawałki:
1. \(\displaystyle{ \alpha\vec{u} \in V}\)
2. \(\displaystyle{ \vec{u}+\vec{v}\in V}\)-- 11 września 2009, 14:10 --Nie możesz tego liczyć na konkretnych wektorach.

[Łukasz_1989]

Ok, to sprawdźcie jeszcze dla pewności czy dobrze to robię

1.
Weźmy u = (\(\displaystyle{ u_1 , u_2 , ... , u_n}\))
Wtedy \(\displaystyle{ \alpha u = (\alpha u_1 , ... , \alpha u_n )}\)
Zatem suma czynników jest równa \(\displaystyle{ \alpha 1}\)
Dla \(\displaystyle{ \alpha}\) różnych od 1 suma jest różna od 1 więc podany podzbiór nie należy do V.

2. Wiem, że w tym przykładzie ten podpunkt jest już zbędny, chcę jednak byście mnie upewnili, że ogólne rozumowanie jest dobre.

Weźmy u = (\(\displaystyle{ u_1 , u_2 , ... , u_n}\)) i v = (\(\displaystyle{ v_1 , v_2 , ... , v_n}\) ). Wtedy: u+v = ( \(\displaystyle{ u_1 + v_1 , u_2 + v_2 , ... , u_n + v_n}\) )
Wtedy suma czynników wektora u+v jest równa 2 więc nie należy do V.

Dobrze?

[scyth]

Dobrze.