Podać przykład macierzy 3 x 3 o wyrazach rzeczywistych spełniającej warunki:
- jądro N przekształcenia zadanego tą macierzą jest prostą
- obraz R przekształcenia zadanego tą macierzą jest płaszczyzną
- kąt między N a R wynosi \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)
Macierz przekształcenia liniowego
-
Yenneferzyca
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 12 sie 2009, o 20:09
- Płeć: Kobieta
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Macierz przekształcenia liniowego
Zdefiniujemy przekształcenie f, które (geometrycznie) jest po prostu rzutem na zadaną płaszczyznę w kierunku wyznaczonym przez zadaną prostą.
Wybieramy dowolną płaszczyznę i dowolną prostą tworzące kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Niech płaszczyzną będzie powiedzmy XOY, a wektorami na których jest rozparta niech będą standardowo \(\displaystyle{ a=(1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ b=(0,1,0)}\). Prosta może być np. wyznaczona przez wektor \(\displaystyle{ c=(0,1,\sqrt{3})}\).
Teraz definiujemy przekształcenie f tak, aby zapewnić pozostałe dwa warunki zadania - najłatwiej zrobić to tak:
\(\displaystyle{ f(a)=a,\ f(b)=b,\ f(c)=0}\)
Zatem szukaną macierzą tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ B=(a,b,c)}\) jest
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}}\)
Jeśli chcesz mieć zapisaną macierz tego przekształcenia w bazie kanonicznej - czyli "zobaczyć" jak to przekształcenie naprawdę wygląda i co "robi" z wektorami (z treści zadania właściwie nie wynika, że chodzi o zadanie przekształcenia w bazie kanonicznej, ale nigdy nie wiadomo do końca, co poeta miał na myśli) - wystarczy skorzystać z odpowiedniego twierdzenia o zmianie macierzy przekształcenia przy zmianie bazy przestrzeni.
Ponieważ łatwo napisać macierz przejścia od bazy kanonicznej do dowolnej innej (kolumnami są wektory bazowe) - u nas to będzie
\(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}}\)
to ostatecznie macierz M przekształcenia f w bazie kanonicznej ma postać \(\displaystyle{ M=PAP^{-1}}\).
Pozdrawiam.
Wybieramy dowolną płaszczyznę i dowolną prostą tworzące kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Niech płaszczyzną będzie powiedzmy XOY, a wektorami na których jest rozparta niech będą standardowo \(\displaystyle{ a=(1,0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ b=(0,1,0)}\). Prosta może być np. wyznaczona przez wektor \(\displaystyle{ c=(0,1,\sqrt{3})}\).
Teraz definiujemy przekształcenie f tak, aby zapewnić pozostałe dwa warunki zadania - najłatwiej zrobić to tak:
\(\displaystyle{ f(a)=a,\ f(b)=b,\ f(c)=0}\)
Zatem szukaną macierzą tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ B=(a,b,c)}\) jest
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}}\)
Jeśli chcesz mieć zapisaną macierz tego przekształcenia w bazie kanonicznej - czyli "zobaczyć" jak to przekształcenie naprawdę wygląda i co "robi" z wektorami (z treści zadania właściwie nie wynika, że chodzi o zadanie przekształcenia w bazie kanonicznej, ale nigdy nie wiadomo do końca, co poeta miał na myśli) - wystarczy skorzystać z odpowiedniego twierdzenia o zmianie macierzy przekształcenia przy zmianie bazy przestrzeni.
Ponieważ łatwo napisać macierz przejścia od bazy kanonicznej do dowolnej innej (kolumnami są wektory bazowe) - u nas to będzie
\(\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}}\)
to ostatecznie macierz M przekształcenia f w bazie kanonicznej ma postać \(\displaystyle{ M=PAP^{-1}}\).
Pozdrawiam.