Zdiagonalizować rzeczywistą formę kwadratową \(\displaystyle{ f(x_1,x_2)=4x_1x_2}\) za pomocą transformacji ortogonalnej. (Zapisać formę w postaci macierzowej. Podać w sposób jawny postać tej transformacji. Jak wygląda forma po zdiagonalizowaniu ?).
Rozwiązanie:
Tworzymy macierz formy kwadratowej:
\(\displaystyle{ 4x_1x_2=2x_1x_2+2x_2x_1}\)
\(\displaystyle{ A=\begin{vmatrix}
0 & 2\\
2 & 0\\
\end{vmatrix}}\)
Liczymy wartości własne:
\(\displaystyle{ det(A-\lambda I)=
\begin{vmatrix}
-\lambda & 2 \\
2 & -\lambda \\
\end{vmatrix}=\lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2)}\)
Znajdujemy wektory własne:
dla \(\displaystyle{ \lambda=-2}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
2 & 2\\
2 & 2\\
\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ x+y=0 \implies x=-y}\)
\(\displaystyle{ w_1=\left[1,-1\right]}\)
dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\):
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-2 & 2\\
2 & -2\\
\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ x-y=0 \implies x=y}\)
\(\displaystyle{ w_2=\left[1,1\right]}\)
Teraz z wektorów własnych tworzymy macierz przejścia macierzy do postaci ortogonalnej (układamy z wektorów własnych zapisanych pionowo)
\(\displaystyle{ P=
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1\\
\end{bmatrix}}\)
Co teraz się robi?
Niektórzy mówią że stosuje się "przekształcenie diagonalizujące: \(\displaystyle{ D=P^{-1}*A*P}\)" (jak się je stosuje?), a inni że zadanie już rozwiązane tylko jedynie coś się jeszcze transponuje.
Później trzeba z powrotem zapisać formę kwadratową.
-- 9 wrz 2009, o 20:18 --
Hm, chyba trzeba wyliczyć P^{-1}. A z transpozycją to chodzi o jakiś dziwny sposób odwracania macierzy, ale pewnie i tak Gaussem łatwiej.
Potem ze wzoru na D dwa razy pomnożyć macierze.