Podać macierz Jordana

[monikap7]

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{cccc}4&0&1&1\\-1&1&-1&-1\\0&0&3&0\\-4&0&-5&0\end{array}\right]}\) est macierzą pewnego endomorfizmu w bazie kanonicznej. Podać macierz Jordana J i macierz przejścia P, taką że \(\displaystyle{ P^{-1}AP=J}\)

[Mariusz M]

I co nie odpowiedzieli ?
Czemu mnie to nie dziwi.

Wartości własne można policzyć rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \det{\left(A-\lambda I\right)}=0\\}\)
Wyznacznik wygodnie będzie policzyć stosując rozwinięcie Laplace względem trzeciego wiersza
i drugiej kolumny

Dla wartości własnych \(\displaystyle{ \lambda=1}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda=3}\)
znajdujesz odpowiadające im wektory własne

Dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=2}\) po znalezieniu wektora własnego
rozwiązujesz układ równań \(\displaystyle{ \left( A-2I\right)v_{2}=v_{1}}\)
gdzie \(\displaystyle{ v_{1}}\) to znaleziony wektor własny

Obliczenia mogą się skomplikować gdy układ równań \(\displaystyle{ \left( A-2I\right)v_{2}=v_{1}}\)
będzie sprzeczny dla każdego znalezionego wektora własnego

\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 1&3&0&-2 \\1&1&1&0\\0&0&0&1\\-2&-5&0&1 \end{bmatrix}\\
J= \begin{bmatrix} 2&1&0&0 \\ 0&2&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&3 \end{bmatrix}}\)