przekształcenie+uzasadnienie

[delta000]

Rozważmy przekształcenie \(\displaystyle{ T:R _{2} [x] \rightarrow R ^{3}}\) określone wzorem \(\displaystyle{ T(f)=\left[\begin{array}{c}f(0)&f(-2)&f(1)\end{array}\right]}\):
a)uzasadnij, że T jest przekształceniem liniowym
b) znajdź macierz przekształcenie T względem standardowych baz w\(\displaystyle{ R _{2} [x] i w R ^{3}}\)
c)posługując się macierzą przekształcenie T uzasadnij, że przekształcenie to jest odwracalne i wyprowadź wzór przekształcenie odwrotnego \(\displaystyle{ T ^{-1} : R ^{3} \rightarrow R _{2}}\)

[Kamil_B]

a)Wystarczy rozpisać definicje
b)Tu jest przykład jak to mozna zrobic:
c)Wystarczy sprawdzić czy wyznacznik macierzy z podpunktu b) jest niezerowy

[delta000]

Podpunkt (a) wiem jak zrobić, czy mogę prosić o rozwiązanie podpunktu b, bo z nim mam problem, jeśli będę juz miała ta macierz to dam sobie radę sama z podpunktem c

[Kamil_B]

Baza standardowa \(\displaystyle{ R_{2}[x]}\) to \(\displaystyle{ \lbrace{1,x,x^2}\rbrace}\).
Baza standardowa \(\displaystyle{ R^{3}}\) to oczywiście \(\displaystyle{ \lbrace (1,0,0)(0,1,0)(0,0,1) \rbrace}\).
Ponadto \(\displaystyle{ T(f)=(f(0),f(-2),f(1))}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ T(1)=(1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ T(x)=(0,-2,1)}\)
\(\displaystyle{ T(x^2)=(0,4,1)}\).
Ponadto:
\(\displaystyle{ (1,1,1)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,-2,1)=0(1,0,0)-2(0,1,0)+1(0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,4,1)=0[(1,0,0)+4(0,1,0)+1(0,0,1)}\)

Macierz :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&-2&4\\1&1&1\end{array}\right]}\)