Uzasadnij, że J jest symetrią
Uzasadnij, że J jest symetrią
Niech V będzie przestrzenia euklidesową, natomiast \(\displaystyle{ J:V \rightarrow V}\)izometrią liniową. Ponadto wiadomo, że J jest przekształceniem symetrycznym. Uzasadnij, że J jest symetrią(odbiciem) względem pewnej podprzestrzeni U przestrzeni \(\displaystyle{ V:J=S _{U}}\)
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Uzasadnij, że J jest symetrią
weźmy dowolną bazę ortonormalną tej przestrzeni, macierz odwzorowania \(\displaystyle{ J}\) w tej bazie jest symetryczna, a więc diagonalizowalna i to nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Wykażemy, że wszystkie wartości własne są równe 1 lub -1, co zakończy dowód:
Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną, a \(\displaystyle{ v \neq 0}\) odpowiadającym jej wektorem własnym. Z tego, że \(\displaystyle{ J}\) jest izometrią mamy, że \(\displaystyle{ J}\) zachowuje iloczyn skalarny zatem:
\(\displaystyle{ <J(v),J(v)>=<v,v>}\)
\(\displaystyle{ <\lambda v,\lambda v>=<v,v>}\)
\(\displaystyle{ \lambda ^2<v,v>=<v,v>}\)
oczywiście \(\displaystyle{ <v,v> \neq 0}\) bo iloczyn skalarny jest z definicji dodatnio określony. Więc:
\(\displaystyle{ \lambda ^2=1}\)
\(\displaystyle{ \lambda=1}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)
Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną, a \(\displaystyle{ v \neq 0}\) odpowiadającym jej wektorem własnym. Z tego, że \(\displaystyle{ J}\) jest izometrią mamy, że \(\displaystyle{ J}\) zachowuje iloczyn skalarny zatem:
\(\displaystyle{ <J(v),J(v)>=<v,v>}\)
\(\displaystyle{ <\lambda v,\lambda v>=<v,v>}\)
\(\displaystyle{ \lambda ^2<v,v>=<v,v>}\)
oczywiście \(\displaystyle{ <v,v> \neq 0}\) bo iloczyn skalarny jest z definicji dodatnio określony. Więc:
\(\displaystyle{ \lambda ^2=1}\)
\(\displaystyle{ \lambda=1}\) lub \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)