różnowartościowe przekształcenie,epimorfizmem

[delta000]

Niech \(\displaystyle{ F:U \rightarrow V}\) będzie różnowartościowym przekształceniem liniowym, zaś \(\displaystyle{ G: V \rightarrow W}\) niech będzie epimorfizmem. Załóżmy ponadto, żę \(\displaystyle{ Im(F)=Ker(G)}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ dimU-dimV+dimW=0}\)

[Qń]

Jeśli \(\displaystyle{ f : A \rightarrow B}\), to \(\displaystyle{ \dim A = \dim \ker f + \dim Im f}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \dim U = \dim \ker F + \dim Im F \\
\dim V = \dim \ker G + \dim Im G}\)

Ale skoro \(\displaystyle{ F}\) jest różnowartościowe, to \(\displaystyle{ \dim \ker F = 0}\). A jeśli \(\displaystyle{ G}\) jest "na", to \(\displaystyle{ \dim Im G = \dim W}\). Ponadto z założenia \(\displaystyle{ \dim Im F = \dim \ker G}\). Wstawiając te trzy zależności do powyższych równań, dostajemy:
\(\displaystyle{ \dim U = \dim \ker G \\
\dim V = \dim \ker G + \dim W}\)
Po odjęciu stronami otrzymujemy tezę.

Q.