Znalezc wektory podprzestrzeni KerF i ImF

[szczepanik89]

Operator liniowy F na przestrzeni wektorowej V ma w bazie \(\displaystyle{ B=(v_{1},v_{2},v_[3})}\) macierz
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 2&1&-1\\-1&1&2\\1&-3&-4\end{bmatrix}}\)
Znalezc jakikolwiek niezerowy wektor podprzestrzeni KerF i jakikolwiek niezerowy wektor podprzestrzeni ImF.

prosze o pomoc, to ostatnie zadanie ktorego nie rozumiem do egzaminu, wiem co to obraz i jadro wiec nie musicie mi tlumaczyc
tylko wytlumaczcie mi co ta macierz mi daje

[Qń]

Dowolna liniowa kombinacja kolumn macierzy należy do obrazu przekształcenia, w szczególności więc także każda kolumna należy do obrazu przekształcenia. Z wektorem z jądra nie jest aż tak szybko, ale też nietrudno - musisz po prostu podać dowolne niezerowe rozwiązanie układu \(\displaystyle{ A \vec{x}= \vec{0}}\).

Q.

[szczepanik89]

czyli co
jesli mam podac wektor ImF to mam przepisac wektor o wspolrzednych np.(2,-1,1) - pierwsza kolumna
a jak chce otrzymac dowolny niezerowy wektor to musze rozwiazac rownanie macierzowe macierz A razy macierz 3na1 i przyrownac do zera tak?

[Qń]

Pomijając odrobinę nieprecyzyjny sposób opisu - tak, dokładnie o to chodzi.

Q.

[szczepanik89]

zrbilem tak jak napisales i cos mi nie wyszlo
\(\displaystyle{ v=[2,-1,-1] \in ImF}\)

a teraz z jadrem mam problem
\(\displaystyle{ AxV=0}\) gdzie V=[x,y,z]
wiec rozwiazuje cos takiego
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&1&-1\\-1&1&2\\1&-3&4\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right|=0}\)

i z tego wychodzi mi uklad rownan
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+y-z=0\\-x+y+2z=0\\x-3y+4z=0 \end{array}}\)
a jego rozwiazanie to x=y=z=0 wiec cos skopalem chyba bo to jest wektor zerowy a nie to chcieli;/

[Qń]

Owszem, trójka \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) jest rozwiązaniem tego układu, ale nie jedynym.
Ogólnym rozwiązaniem jest trójka \(\displaystyle{ (t,-t,t)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ t \in R}\), zatem do jądra należy na przykład niezerowy wektor \(\displaystyle{ (1,-1,1)}\).

Q.

[szczepanik89]

no tak bo jak potraktuje macierz A jako wyznacznik glowny W a on jest rowny zero to oprocz wektora (0,0,0) istnieje takze kombinacja trojki uzaleznionej od ktores ze zmiennych;p