uzasadnij, że F jest izomorfizmem

[delta000]

Niech \(\displaystyle{ B={(1,0,2),(0,1,-1),(1,1,0)}\) będzie bazą \(\displaystyle{ R ^{3}}\), zaś \(\displaystyle{ C={1+X,X-X ^{2} ,2+X^{2}}}\) bazą \(\displaystyle{ R _{2} [X]}\). Niech \(\displaystyle{ F:R ^{3}}\)\(\displaystyle{ \rightarrow}\)\(\displaystyle{ R _{2}[x]}\) będzie przekształceniem liniowym, zadanym względem baz B,C macierzą \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&2\\0&1&1\\1&0&-1\end{array}\right]}\):
*uzasadnij, że F jest izomorfizmem
*Oblicz \(\displaystyle{ F ^{-1} (1+X+X ^{2})}\)

[Zordon]

1. wystarczy sprawdzić, że wyznacznik jest niezerowy
2. znaleźć najpierw \(\displaystyle{ Y=[1+X+X^2]_C}\)
a potem rozwiązać układ równań \(\displaystyle{ MX=Y}\), gdzie M jest macierzą tego przekształcenia w podanych bazach.
Otrzymamy wynik w bazie B, wystarczy potem przejść do bazy standardowej (chociaż w poleceniu tego nie ma).