Sprowadzić macierz A do postaci diagonalnej i podać bazę, w której ta ma postać diagonalną.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]}\)
Postać diagonalna macierzy.
-
miodzio1988
Postać diagonalna macierzy.
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ A-\Lambda*I=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\Lambda&0\\0&\Lambda\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2-\Lambda&1\\1&2-\Lambda\end{array}\right]}\)
Liczymy wartości własne:
\(\displaystyle{ det(A-\Lambda*I)=0}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2-\Lambda&1\\1&2-\Lambda\end{array}\right|=(2-\Lambda)^2-1=0}\)
\(\displaystyle{ (2-\Lambda-1)(2-\Lambda+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-\Lambda)(3-\Lambda)=0}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{2}=3}\)
Chyba dobrze, ale co dalej?
\(\displaystyle{ A-\Lambda*I=0}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\Lambda&0\\0&\Lambda\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2-\Lambda&1\\1&2-\Lambda\end{array}\right]}\)
Liczymy wartości własne:
\(\displaystyle{ det(A-\Lambda*I)=0}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2-\Lambda&1\\1&2-\Lambda\end{array}\right|=(2-\Lambda)^2-1=0}\)
\(\displaystyle{ (2-\Lambda-1)(2-\Lambda+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (1-\Lambda)(3-\Lambda)=0}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \Lambda_{2}=3}\)
Chyba dobrze, ale co dalej?
-
miodzio1988
Postać diagonalna macierzy.
Dobrze policzone. A jak schemat nam dalej mowi? Bo troszkę pamięć mi nie działa. Postac diagonalną już mamy bo wystarczy teraz przepisac te wartości wlasne do odpowiedniej macierzy 2 na 2, nie?
EDIT Zaraz sobie przypomnę, bo mi się już w glowie pomieszalo Coś mi po glowią chodzą wektory wlasne...hmmm
EDIT Zaraz sobie przypomnę, bo mi się już w glowie pomieszalo Coś mi po glowią chodzą wektory wlasne...hmmm
-
argv
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 66 razy
Postać diagonalna macierzy.
Mój schemat mówi tyle:
- znajdujemy wektory wlasne
- ustawiamy je w kolumny dostajemy macierz C
- liczymy \(\displaystyle{ C^{-1} \cdot A \cdot C}\) = macierz diagonalna majaca na przekatnej wartosci wlasne
EDIT: pomylilem -1 przy macierzy ale juz poprawilem
Bo endomorfizm jest diagonalizowalny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy ma w pewnej bazie macierz diagonalna a konkretnie w bazie zlozonej z wektorow wlasnych (o ile istnieje) Czyli szukamy \(\displaystyle{ M(\varphi)_{B}^{B}}\).
Mamy ogolny wzorek na zamiane: \(\displaystyle{ M(\varphi)_{A}^{B} = M_{st}^{B} \cdot M(\varphi})_{st}^{st} \cdot M_{A}^{st}}\)
Wiec my szukamy \(\displaystyle{ M(\varphi)_{B}^{B} = M_{st}^{B} \cdot M(\varphi})_{st}^{st} \cdot M_{B}^{st}}\)
\(\displaystyle{ M_{B}^{st}}\) to wektory z bazy B ustawione w kolumny czyli wektory wlasne ustawiamy w kolumny.
\(\displaystyle{ M_{st}^{B}}\) to odwrotna do niej wiec pierwsza macierz do potęgi -1
Przepraszam za blad
- znajdujemy wektory wlasne
- ustawiamy je w kolumny dostajemy macierz C
- liczymy \(\displaystyle{ C^{-1} \cdot A \cdot C}\) = macierz diagonalna majaca na przekatnej wartosci wlasne
EDIT: pomylilem -1 przy macierzy ale juz poprawilem
Bo endomorfizm jest diagonalizowalny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy ma w pewnej bazie macierz diagonalna a konkretnie w bazie zlozonej z wektorow wlasnych (o ile istnieje) Czyli szukamy \(\displaystyle{ M(\varphi)_{B}^{B}}\).
Mamy ogolny wzorek na zamiane: \(\displaystyle{ M(\varphi)_{A}^{B} = M_{st}^{B} \cdot M(\varphi})_{st}^{st} \cdot M_{A}^{st}}\)
Wiec my szukamy \(\displaystyle{ M(\varphi)_{B}^{B} = M_{st}^{B} \cdot M(\varphi})_{st}^{st} \cdot M_{B}^{st}}\)
\(\displaystyle{ M_{B}^{st}}\) to wektory z bazy B ustawione w kolumny czyli wektory wlasne ustawiamy w kolumny.
\(\displaystyle{ M_{st}^{B}}\) to odwrotna do niej wiec pierwsza macierz do potęgi -1
Przepraszam za blad
Ostatnio zmieniony 3 wrz 2009, o 18:01 przez argv, łącznie zmieniany 2 razy.
-
miodzio1988
Postać diagonalna macierzy.
No racja
Jak znalezc wektory wlasne? Rozwiązując uklad jednorodny. Myślę, że teraz dasz radę;]
Jak znalezc wektory wlasne? Rozwiązując uklad jednorodny. Myślę, że teraz dasz radę;]
Postać diagonalna macierzy.
Wychodzą mi wektory własne: [t,-t] i [t,t]. Czy rozwiązaniem będzie macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}t&t\\-t&t\end{array}\right]^{-1}*\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}t&t\\-t&t\end{array}\right]}\) ?
A o co chodzi z tą bazą? Co to jest? Jak będzie wyglądać odpowiedź na drugą część pytania?
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}t&t\\-t&t\end{array}\right]^{-1}*\left[\begin{array}{ccc}2&1\\1&2\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}t&t\\-t&t\end{array}\right]}\) ?
A o co chodzi z tą bazą? Co to jest? Jak będzie wyglądać odpowiedź na drugą część pytania?
-
argv
- Użytkownik
- Posty: 569
- Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 51 razy
- Pomógł: 66 razy
Postać diagonalna macierzy.
No nie bardzo ... musisz dla kazdego wektora wlasnego znalesc jego baze przestrzeni wlasnej (bede pisac skrotami)
Czyli np dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}) \in V_{(1)} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
Rozwiazujac to masz ze \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} = 0}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1} = -x_{2}}\)
Stad \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}) = (-x_{2}, x_{2}) = x_{2}(-1, 1)}\)
Wiec baza jest wektor \(\displaystyle{ (-1, 1)}\)
Analogicznie licząc dla drugiego wyjdzie \(\displaystyle{ (1, 1)}\)
Wiec baza B zlozona z wektorow wlasnych to \(\displaystyle{ (-1, 1), (1, 1)}\). Jej wymiar = 2 co wymiar \(\displaystyle{ R^{2}}\) wiec macierz jest diagonalizowalna
Stad \(\displaystyle{ C = M_{B}^{st} = \begin{bmatrix} -1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
Teraz trzeba ja odwrocic i wymnozyc
Czyli np dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}) \in V_{(1)} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
Rozwiazujac to masz ze \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} = 0}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1} = -x_{2}}\)
Stad \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}) = (-x_{2}, x_{2}) = x_{2}(-1, 1)}\)
Wiec baza jest wektor \(\displaystyle{ (-1, 1)}\)
Analogicznie licząc dla drugiego wyjdzie \(\displaystyle{ (1, 1)}\)
Wiec baza B zlozona z wektorow wlasnych to \(\displaystyle{ (-1, 1), (1, 1)}\). Jej wymiar = 2 co wymiar \(\displaystyle{ R^{2}}\) wiec macierz jest diagonalizowalna
Stad \(\displaystyle{ C = M_{B}^{st} = \begin{bmatrix} -1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
Teraz trzeba ja odwrocic i wymnozyc
Postać diagonalna macierzy.
Robiłem tak samo, tylko nie wiedziałem , że należy wyciągnąć parametr przed wektor. Mam jeszcze pytanie, czy jest różnica, czy przyjmiemy sobie x2=-x1 czy x1=-x2? Są wtedy 2 przypadki macierzy C:argv pisze:No nie bardzo ... musisz dla kazdego wektora wlasnego znalesc jego baze przestrzeni wlasnej (bede pisac skrotami)
Czyli np dla \(\displaystyle{ \lambda = 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}) \in V_{(1)} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
Rozwiazujac to masz ze \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} = 0}\) czyli \(\displaystyle{ x_{1} = -x_{2}}\)
Stad \(\displaystyle{ (x_{1}, x_{2}) = (-x_{2}, x_{2}) = x_{2}(-1, 1)}\)
Wiec baza jest wektor \(\displaystyle{ (-1, 1)}\)
Analogicznie licząc dla drugiego wyjdzie \(\displaystyle{ (1, 1)}\)
Stad \(\displaystyle{ C = M_{B}^{st} = \begin{bmatrix} -1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
Teraz trzeba ja odwrocic i wymnozyc
przy x2=-x1:
\(\displaystyle{ C = M_{B}^{st} = \begin{bmatrix} -1&1\\1&1\end{bmatrix}}\)
i przy x1=-x2:
\(\displaystyle{ C = M_{B}^{st} = \begin{bmatrix} 1&1\\-1&1\end{bmatrix}}\)
Domyślam się, że nie ma to znaczenia i wynik końcowy wyjdzie taki sam przy obu.