Przekształcenie \(\displaystyle{ F: M _{2x2} \rightarrow M _{2x2}}\)( gdzie\(\displaystyle{ M _{2x2}}\)to przestrzeń macierzy rozmiaru 2x2) zadane jest wzorem \(\displaystyle{ F(A)=A ^{T} -2A}\):
Uzasadnij, że podprzestrzeń macierzy symetrycznych jest przestrzenią własną dla pewnej wartości własnej przekształcenia F.
przekształcenie + macierz
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
przekształcenie + macierz
Oznaczmy: \(\displaystyle{ M_{sym}=\{M\in M_{2x2}:M=M^T\}}\), tzn. \(\displaystyle{ M_{sym}}\) jest przestrzenią macierzy symetrycznych. Należałoby jeszcze dowieść, że jest to podprzestrzeń liniowa.
Niech \(\displaystyle{ M \in M_{sym}}\) będzie macierzą symetryczną, z definicji oznacza to, że \(\displaystyle{ M=M^T}\)
\(\displaystyle{ F(M)=M^{T}-2M=M-2M=-M=(-1)M}\)
zatem macierze symetryczne są wektorami własnymi dla wartości własnej \(\displaystyle{ -1}\). Możnaby jeszcze pokazać, że żadne inne wektory spoza \(\displaystyle{ M_{sym}}\), nie są wektorami własnymi dla tej wartości własnej.
Niech \(\displaystyle{ M \in M_{sym}}\) będzie macierzą symetryczną, z definicji oznacza to, że \(\displaystyle{ M=M^T}\)
\(\displaystyle{ F(M)=M^{T}-2M=M-2M=-M=(-1)M}\)
zatem macierze symetryczne są wektorami własnymi dla wartości własnej \(\displaystyle{ -1}\). Możnaby jeszcze pokazać, że żadne inne wektory spoza \(\displaystyle{ M_{sym}}\), nie są wektorami własnymi dla tej wartości własnej.