Przekształcenie afiniczne

[corax]

W \(\displaystyle{ (R^3, <, >_{st})}\) dana jest prosta L=(0,1,0)+lin((1,2,1)) oraz punkt \(\displaystyle{ p_0=(-3,-1,1)}\). Dla jakich \(\displaystyle{ s \in R}\) istnieje izometria \(\displaystyle{ f: R^3 \rightarrow R^3}\) spełniająca warunki: f(L)=L oraz \(\displaystyle{ f(p_0)=(s,1,-s)}\)?. Odpowiedź uzasadnij

Mam problem ze zinterpretowaniem tego wyrażenia f(L)=L

[Zordon]

z definicji: \(\displaystyle{ f(L)=\{f(x):x\in L\}}\)
chodzi o to, że obrazem tej prostej jest ona sama.

[corax]

To z tego co rozumiem to po prostu mam wybrać punkty z prostej, więc mogę wybrać punkt (0,1,0) i (1,3,1) wtedy mam:
f((0,1,0))=(0,1,0)
f((1,3,1))=(1,3,1)
f((-3,-1,1))=(s,1,-s)
No i tutaj pojawia się problem, bo aby wyznaczyć część liniową przekształcenia potrzeba znać przynajmniej cztery wartości przekształcenia afinicznego... pewnie gdzieś jest ukryta ta czwarta wartość, ale ja tego nie widzę...

[Zordon]

To z tego co rozumiem to po prostu mam wybrać punkty z prostej, więc mogę wybrać punkt (0,1,0) i (1,3,1) wtedy mam:
f((0,1,0))=(0,1,0)
f((1,3,1))=(1,3,1)
f((-3,-1,1))=(s,1,-s)
No i tutaj pojawia się problem, bo aby wyznaczyć część liniową przekształcenia potrzeba znać przynajmniej cztery wartości przekształcenia afinicznego... pewnie gdzieś jest ukryta ta czwarta wartość, ale ja tego nie widzę...

nie musi być wcale tak jak piszesz, to ze ta prosta przechodzi na siebie, nie implikuje, ze kazdy jej punkt przechodzi na siebie.

[corax]

hmmm... to jak to zrobić, pierwsze co wpadło mi do głowy to, żeby przedstawić prostą jako parametryzację i wtedy np.
f((0,1,0))=(t,2t+1,t)
Dostanę pełno parametrów, więc to chyba zły trop, a może to w ogóle nie trzeba wyprowadzać równanie na , tylko po prostu jakoś sprawdzić czy jest izometrią?

[Zordon]

trzeba najpierw się zastanowić, które izometrie nie ruszają tej prostej, nie ma ich aż tak wiele

[corax]

Musi być symetrią prostopadłą?

[Zordon]

Dobra, tamto co wyżej pisałem nie ma sensu, jednak jest strasznie dużo takich izometrii.
Można wykombinować, że odległość \(\displaystyle{ f(p_0)}\) od tej prostej musi być taka sama jak odległość \(\displaystyle{ p_0}\). Co więcej, jeśli tak jest, to można znaleźć odpowiednią izometrię, która spełnia warunki zadania (np. obrót wokół L złożony z translacją).