wartość własna

[i105n2k]

Znaleźć wartości i wektory własne \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&-2&0\\1&2&0\\1&2&0\end{bmatrix}}\)
Czy mogę skreślić wiersz i kolumnę 3? (wiersz 3 jest równy wierszowi 2, kolumna 3 jest zerami) Jesli tak i jeśli dobrze rozumiem metodę wyznaczania wartości własnej to po skreśleniach dostaję macierz
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&-2\\1&2\end{bmatrix}}\) odejmuję po przekątnej lambdy dostając macierz
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1-\lambda&-2\\1&2-\lambda\end{bmatrix}}\) teraz z tego licze wyznacznik
\(\displaystyle{ \left(1-\lambda \right) \left(2-\lambda \right)- \left(-2*1\right)=0}\)
Niestety z tego równania wychodzi mi delta ujemna, czyli lambda teoretycznie powinna nie istnieć. Natomiast jeśli na początku nei skreślę wiersza i kolumny a następnie postąpie metodą opisaną przeze mnie lambda wychodzi mi 0 i 3. Czy ktoś mógłby zerknąc gdzie robie błąd i jakie powinny być wartości lambdy ?

[Qń]

Czy mogę skreślić wiersz i kolumnę 3?

W ogólności - nie.
Macierze różniące się tylko o operację elementarną zazwyczaj mają inne wartości własne.

Tutaj przypadkiem to bez różnicy, pod warunkiem, że "wyzerować", a nie "skreślić".

Q.

[i105n2k]

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&-2&0\\1&2&0\\1&2&0\end{bmatrix}}\)
Odejmuję lambdę po przekątnej dostajac coś takiego
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1-\lambda&-2&0\\1&2-\lambda&0\\1&2&-\lambda\end{bmatrix}}\)
Równanie wyznacznika wychodzi mi nastepujące
\(\displaystyle{ \left(1-\lambda \right) \left(2-\lambda \right) \left(-\lambda \right) - \left(2\lambda\right)=0}\)
wyciągam -lambda przed nawias dostając coś takiego
\(\displaystyle{ \left(-\lambda \right) \left[ \left(1-\lambda \right) \left(2-\lambda \right) + \left(2 \right)\right]=0}\) stąd dostaję lambdę równą zero wielomian w nawiasie kwadratowym ma deltę ujemną tj. nie ma w nim lambd, jedyna wartość własna tej macierzy to 0. Czy tak jest ?

[Zordon]

zgadza się, jeśli szukasz wartości własnych nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to 0 jest jedyną

[i105n2k]

a wektor własny dla znalezionej lambdy to \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}}\) ??
Dziękuję serdecznie za odpowiedzi

[Zordon]

a wektor własny dla znalezionej lambdy to \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}}\) ??
Dziękuję serdecznie za odpowiedzi

nie, z definicji przyjmujemy, że wektory własne są niezerowe.

[i105n2k]

nie, z definicji przyjmujemy, że wektory własne są niezerowe.

W takim razie jak poprawnie wyznaczyć wektor własny mając wartość własną \(\displaystyle{ \lambda=0}\) ?

[Zordon]

nie, z definicji przyjmujemy, że wektory własne są niezerowe.

W takim razie jak poprawnie wyznaczyć wektor własny mając wartość własną \(\displaystyle{ \lambda=0}\) ?

trzeba znaleźć niezerowy wektor \(\displaystyle{ X}\) o własności
\(\displaystyle{ AX=0 \cdot X}\)
czyli \(\displaystyle{ AX=0}\)

co sprowadza się do rozwiązania układu równań.

[5er]

a ja mam pytanie następujące. Co dokładnie oznacza fakt że wartość własna macierzy ma wartość 0?

[Zordon]

Tyle co mówi o tym definicja, ma to czasem pewną interpretację geometryczną, ale nie wiem czy o to Ci chodzi.

[5er]

Najogólniej rzecz biorąc pisze teraz prace (poniżej link do jej okrojonej części)



Pod koniec tego kawałka są wykresy drgań włąsnych prostego pręta. Poszczególne postaci odpowiadają poszczególnym wektorom własnych. Postać pierwsza odpowiada zerowej wartości własnej.
Chodzi mi o to czego moge sie dowiedzieć z tego wykresu.
Cięzko mi opisac to o co mi chodzi. przyznaje

Dorwałem również taką definicję:

"Jeśli występuje przynajmniej jedna zerowa wartość własna, to proces y(t) jest zintegrowany, ale może istnieć kombinacja liniowa, która jest stacjonarna."

która jest dla mnie dość zawiła.