Odwzorowania i przestrzeń wielomianu - zadania

ctxpl · Post autor: **ctxpl** » 31 sie 2009, o 16:15

Witam

Posiadam dwa zadania z którymi nie mogę sobie poradzić. Czy jesteście wstanie naprowadzić mnie na metodę rozwiązania tych zadań ?

zadanie 1.
\(\displaystyle{ W[x] _{2} -}\) przestrzeń wielomianów stopnia \(\displaystyle{ \le 2.}\)
Wykazać że układ
\(\displaystyle{ W _{1} (x)=2 W _{2} (x)=x+3 W _{3} (x)= 2x ^{2}+1}\) stanowi liczbę przestrzeni \(\displaystyle{ W[x] _{2}}\)
Zapisać współrzędne wektora
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{2}+x+1}\)

zadanie 2.
Wykazać że odwzorowanie \(\displaystyle{ T: R ^{2} -R ^{3}}\) określone wzorem
\(\displaystyle{ T(x,y)=(2x-y,3x+4,-x+y)}\)
a) jest liniowe
b) podać macierz tego odwzorowania w liczbach kanonicznych
c) przy pomocy macierzy przejścia wyznaczyć macierz odwzorowania w bazach
\(\displaystyle{ R ^{2} : U _{1}=(-1,2)
U _{2}=(1,3)}\)
\(\displaystyle{ R^{3} : V _{1}=(1,1,0)
V _{2}=(0,2,1)
V _{3}=(1,0,0)}\)
Jeżeli można to najlepiej podać z jakiej definicji/twierdzenia należało by skorzystać.

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 31 sie 2009, o 16:39

1.

ctxpl pisze: stanowi liczbę przestrzeni \(\displaystyle{ W[x] _{2}}\)

Nie powinno być przypadkiem: czy stanowi bazę ?
2.

ctxpl · Post autor: **ctxpl** » 31 sie 2009, o 17:25

Kamil_B pisze:1.
Nie powinno być przypadkiem: czy stanowi bazę ?

pisze przestrzeni :/

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 31 sie 2009, o 17:31

Chodziło mi o to czy nie powinno byc: czy stanowi bazę przestrzeni ?

kiepson · Post autor: **kiepson** » 31 sie 2009, o 18:17

tak, jest napisane "stanowi bazę przestrzeni" - dołączam się z prośbą o rozwiązanie tego pierwszego zadania, naprawdę pilne! ctxpl- tomek, ja mam to drugie rozwiązane to moge zrobić zdjęcie i wrzucić później na nasze forum.

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 31 sie 2009, o 18:32

Co do zad1:

1.Wyznacz te wielomiany \(\displaystyle{ W_{1}W_{2},W_{3}}\) z zależności którą masz podaną w treści zadania.
2.Te wielomiany mają stanowić bazę wspomnianej przestrzeni, zatem muszą być liniowo niezależne i muszą rozpinać wspomnianą przestrzeń.
3.W celu sprawdzenia liniowej niezależności można np. napisać odpowiedni wyznacznik i sprawdzić, czy jest różny od 0.
4.A co do znalezienia współrzędnych tego wektora to jest on oczywiście kombinacją liniową \(\displaystyle{ W_{1},W_{2},W_{3}}\) a zatem wystarczy znależć a,b,c takie,że
\(\displaystyle{ W=aW_{1}+bW_{2}+cW_{3}}\)

I już

kiepson · Post autor: **kiepson** » 31 sie 2009, o 18:34

a mógłbyś to rozpisać? wielkie dzięki z góry bo to bardzo pilne:)

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 31 sie 2009, o 18:37

A z czym konkretnie jest problem?

kiepson · Post autor: **kiepson** » 31 sie 2009, o 18:42

po prostu chciałem, żebyś to napisał, bo nie robiliśmy takiego zadania na ćwiczeniach i nie wiem jak to policzyć.

ctxpl · Post autor: **ctxpl** » 31 sie 2009, o 22:08

1 zadania nic a nic nie kumam :/ Jednak poprosił bym kogoś o rozwiązanie tego zadania - może wtedy zrozumiem.

Zordon · Post autor: **Zordon** » 1 wrz 2009, o 09:24

1. Wymiar takiej przestrzeni jest w sposób oczywisty równy 3, zatem wystarczy wykazać liniową niezależność tych wielomianów
zapiszmy te wielomiany jako wektory w bazie standardowej:
\(\displaystyle{ \left[ W_1\right]_{st}=\left[ 2\right]_{st}=\begin{pmatrix}2\\0\\0 \end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left[ W_2\right]_{st}=\left[ x+3\right]_{st}=\begin{pmatrix}3\\1\\0 \end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left[ W_3\right]_{st}=\left[ 2x^2+1\right]_{st}=\begin{pmatrix}1\\0\\2 \end{pmatrix}}\)

Teraz zadanie sprowadza się do sprawdzenia liniowej niezależności tych 3 wektorów, a z tym powinieneś sobie poradzić.