Znajdź przekształcenie liniowe

[delta000]

Dane są wektory \(\displaystyle{ v _{1} =[1,0,1,1]}\) i\(\displaystyle{ v _{2} =[1,1,0,0]}\). Znajdź przekształcenia liniowe \(\displaystyle{ A : R ^{4} \rightarrow R ^{3} i B: R ^{4} \rightarrow R ^{3}}\), dla których \(\displaystyle{ A (v _{1})=B (v_{1}) = [1,1,0] , A (v _{2})=B (v_{2}) = [2,2,1]}\) i przy tym rząd A wynosi 2, zaś rząd B wynosi 3. Zapisz znalezione przekształcenia przy pomocy macierzy.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

[Zordon]

niech \(\displaystyle{ C=(c_1,c_2,c_3,c_4)}\) będzie dowolną bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\), taką, że:
\(\displaystyle{ c_1=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}\ \ c_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\)

wtedy macierze odwzorowań A,B z bazy C w standardową bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) są postaci:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 &a &b\\1 & 2 &c&d\\0 & 1 &e &f\end{pmatrix}}\)
gdzie: a,b,c,d,e,f są pewnymi parametrami.

chcąc obliczyć rząd takiej macierzy stosujemy elim. Gaussa:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 &a &b\\1 & 2 &c&d\\0 & 1 &e &f\end{pmatrix}}\)
zamiana wierszy 2 i 3
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 &a &b\\0 & 1 &e &f\\1 & 2 &c&d\end{pmatrix}}\)
odjęcie wiersza 1 od 3
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1 & 2 &a &b\\0 & 1 &e &f\\0 & 0 &c-a&d-b\end{pmatrix}}\)
rząd takiej macierzy jest równy 2, wtw. gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} c-a=0 \\ d-b=0\end{cases}}\)
lub jest równy 3 jeśli
\(\displaystyle{ c-a \neq 0}\) lub \(\displaystyle{ d-b \neq 0}\)

więc:
\(\displaystyle{ m_{st}^{C}(A)=\begin{pmatrix}1 & 2 &a &b\\1 & 2 &a&b\\0 & 1 &e &f\end{pmatrix}}\)
dla dowolnych a,b,e,f
\(\displaystyle{ m_{st}^{C}(B)=\begin{pmatrix}1 & 2 &a &b\\1 & 2 &c&d\\0 & 1 &e &f\end{pmatrix}}\)
jesli tylko \(\displaystyle{ c \neq a}\) lub \(\displaystyle{ d \neq b}\)