Mam problem z formamli kwadratowymi:
Zbadać czy forma kwadratowa jest dodatnio (ujemnie) określona (półokreślona):
\(\displaystyle{ q:R^3 \rightarrow R, q((x_1,x_2,x_3))=-3x_1^2-x_2^2-6x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3}\)
Mam problem z samymi przekształceniami, próbowałem zastosować metodę uzupełnienie do kwadratów. Jednak nie wiem jak to zrobić, tutaj nie ma takiej oczywistych podstawień funkcji kwadratowych, albo ja tego nie widzę..
Forma kwadratowa, postać diagonalna
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
Forma kwadratowa, postać diagonalna
Mogę Ci pomódz sprowadzić to do sum kwadratów:
\(\displaystyle{ -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3} = -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} - (x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3}^{2} = -2x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 10x_{3}^{2} - (x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} + 2x_{3})^{2}}\)
Mam nadzieję, że o to w tym chodzi.
\(\displaystyle{ -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3} = -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} - (x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3}^{2} = -2x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 10x_{3}^{2} - (x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} + 2x_{3})^{2}}\)
Mam nadzieję, że o to w tym chodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Forma kwadratowa, postać diagonalna
Określoność formy kwadratowej bada się przy pomocy minorów głównych - jeśli wszystkie są dodatnie to forma jest dodatnio określona, a jeśli na zmianę dodatnie i ujemne , począwszy od ujemnego, to ujemnie określona. Jeśli zaś po drodze gdzieś się minor wyzeruje, to mamy półokreśloność.
W tym wypadku kolejne minory są równe: \(\displaystyle{ -3,2,0}\), zatem forma jest ujemnie półokreślona.
Q.
W tym wypadku kolejne minory są równe: \(\displaystyle{ -3,2,0}\), zatem forma jest ujemnie półokreślona.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 9 gru 2008, o 22:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 9 razy
Forma kwadratowa, postać diagonalna
Niestety nic nie wiem o minorach, nie brałem tego, albo po prostu nie wiem, że brałem :-D
O to mi chodzi, tylko, że nie i wiem co dalej... powinienem zrobić jakieś podstawienie tak aby wyszyły mi 3 zmienne podniesione do kwadratu, problem jest właśnie w tym, bo zawsze mi wychodzi więcej... (nie wiem czy ktoś rozumie o co mi w ogóle chodzi?)Rogal pisze:Mogę Ci pomódz sprowadzić to do sum kwadratów:
\(\displaystyle{ -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3} = -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} - (x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3}^{2} = -2x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 10x_{3}^{2} - (x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} + 2x_{3})^{2}}\)
Mam nadzieję, że o to w tym chodzi.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
Forma kwadratowa, postać diagonalna
mamy:
\(\displaystyle{ ...=-3(x_1- \frac{1}{3}x_2)^2- \frac{2}{3} x_2^2-6x_3^2+4x_2x_3=\\
=-3(x_1- \frac{1}{3}x_2)^2-\frac{2}{3}(x_2-3x_3)^2}\)
czyli mamy sygnaturę formy: (0,2), stąd forma jest ujemnie półokreślona (czy jak kto woli niedodatnio określona)
To co pisał Qń to kryterium Sylvestera
\(\displaystyle{ ...=-3(x_1- \frac{1}{3}x_2)^2- \frac{2}{3} x_2^2-6x_3^2+4x_2x_3=\\
=-3(x_1- \frac{1}{3}x_2)^2-\frac{2}{3}(x_2-3x_3)^2}\)
czyli mamy sygnaturę formy: (0,2), stąd forma jest ujemnie półokreślona (czy jak kto woli niedodatnio określona)
To co pisał Qń to kryterium Sylvestera