Forma kwadratowa, postać diagonalna

[corax]

Mam problem z formamli kwadratowymi:
Zbadać czy forma kwadratowa jest dodatnio (ujemnie) określona (półokreślona):
\(\displaystyle{ q:R^3 \rightarrow R, q((x_1,x_2,x_3))=-3x_1^2-x_2^2-6x_3^2+2x_1x_2+4x_2x_3}\)
Mam problem z samymi przekształceniami, próbowałem zastosować metodę uzupełnienie do kwadratów. Jednak nie wiem jak to zrobić, tutaj nie ma takiej oczywistych podstawień funkcji kwadratowych, albo ja tego nie widzę..

[Rogal]

Mogę Ci pomódz sprowadzić to do sum kwadratów:
\(\displaystyle{ -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3} = -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} - (x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3}^{2} = -2x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 10x_{3}^{2} - (x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} + 2x_{3})^{2}}\)
Mam nadzieję, że o to w tym chodzi.

[Qń]

Określoność formy kwadratowej bada się przy pomocy minorów głównych - jeśli wszystkie są dodatnie to forma jest dodatnio określona, a jeśli na zmianę dodatnie i ujemne , począwszy od ujemnego, to ujemnie określona. Jeśli zaś po drodze gdzieś się minor wyzeruje, to mamy półokreśloność.

W tym wypadku kolejne minory są równe: \(\displaystyle{ -3,2,0}\), zatem forma jest ujemnie półokreślona.

Q.

[corax]

Niestety nic nie wiem o minorach, nie brałem tego, albo po prostu nie wiem, że brałem :-D

Mogę Ci pomódz sprowadzić to do sum kwadratów:
\(\displaystyle{ -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 4x_{2}x_{3} = -3x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 6x_{3}^{2} - (x_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}^{2} - 4x_{3}^{2} = -2x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 10x_{3}^{2} - (x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} + 2x_{3})^{2}}\)
Mam nadzieję, że o to w tym chodzi.

O to mi chodzi, tylko, że nie i wiem co dalej... powinienem zrobić jakieś podstawienie tak aby wyszyły mi 3 zmienne podniesione do kwadratu, problem jest właśnie w tym, bo zawsze mi wychodzi więcej... (nie wiem czy ktoś rozumie o co mi w ogóle chodzi?)

[Zordon]

mamy:
\(\displaystyle{ ...=-3(x_1- \frac{1}{3}x_2)^2- \frac{2}{3} x_2^2-6x_3^2+4x_2x_3=\\
=-3(x_1- \frac{1}{3}x_2)^2-\frac{2}{3}(x_2-3x_3)^2}\)

czyli mamy sygnaturę formy: (0,2), stąd forma jest ujemnie półokreślona (czy jak kto woli niedodatnio określona)

To co pisał Qń to kryterium Sylvestera

[Rogal]

Ach, widzę różnicę - musi być to odpowiednio sprowadzone. Chyba muszę się tego pouczyć

[corax]

Tak, to jest dobre rozwiązanie
Bardzo dziękuje