Rozwiązywalność układu równań oraz rząd macierzy

[ctxpl]

Witam mam problem z dwoma zadaniami. Prosiłbym forumowiczów o pomoc

1. Przedyskutować rozwiązywalność układu równań ( a - parametr)


\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} ax-y+z=1\\x-ay+z=1\\3x-3y+2x=2a \end{array}}\)

2. Dla jakiej wartości parametru a rząd macierzy wynosi 3

A= \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&1&2\\3&a&2&1\\2&1&1&1\\5&1&3&2\end{bmatrix}}\)

Z góry dzięki!

[miodzio1988]

1. Wrzuć wszystkie dane w macierz i wykonaj operacje na wierszach sprowadzając macierz do odpowiedniej postaci (schodkowa, wierszowo zredykowana)
2.Wykonaj operacje na wierszach wtedy będziesz widział ile powinien wynosić parametr \(\displaystyle{ a}\)

[ctxpl]

2.Wykonaj operacje na wierszach wtedy będziesz widział ile powinien wynosić parametr a

Tutaj mam problem, - próbuje doprowadzić do macierzy schodkowej ( trójkątnej) ale nie udaje się :/

ostatnia postać jaką udało mi się uzyskać to:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&2&3&2\\2&1&1&2\\0&0&0&-1\\0&a-1&0&0\end{bmatrix}}\)


odejmowanie/dodawanie wierszy oraz zamiana pozycji wierszy czyli operacje elementarne.

Chyba można z tego wywnioskować że a będzie równe 1 dla rzędu macierzy 3 ?

[miodzio1988]

To nie jest jeszcze postać schodkowa, więc duzo wyczytać się nie da.

[Qń]

Można prościej:

W pierwszym zadaniu wystarczy policzyć wyznacznik macierzy tego układu. Jeśli jest niezerowy (tak wyjdzie dla \(\displaystyle{ a \neq 1, 2}\)), to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (które dodatkowo można obliczyć przy użyciu wzorów Cramera). Natomiast dla \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ a=2}\) trzeba sprawdzić już ręcznie - w pierwszym wypadku wyjdzie układ nieoznaczony, a w drugim sprzeczny.

W drugim zadaniu liczymy wyznacznik tej macierzy (najpierw odejmując trzeci wiersz od pierwszego i potem rozwijając względem pierwszego wiersza). Jeśli wyjdzie niezerowy (a tak będzie dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\)), to macierz ma rząd cztery, czyli źle. Natomiast dla \(\displaystyle{ a=0}\) sprawdzamy osobno, że wtedy istotnie rząd jest równy trzy (albo operacjami elementarnymi, albo licząc minory).

Q.

[ctxpl]

Co do drugiego - liczę wyznacznik korzystając z Rozwinięcia Laplace


detA = \(\displaystyle{ (-1)^{1+1} \cdot 0 \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&2&1\\1&1&1\\2&3&2\end{array}\right] + (-1)^{1+2} \cdot 0 \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&2&1\\2&1&1\\5&3&2\end{array}\right] + (-1) ^{1+3} \cdot 0 \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&a&1\\2&1&1\\5&2&2\end{array}\right] + (-1) ^{1+4} \cdot 1 \cdot \left[\begin{array}{ccc}3&a&2\\2&1&1\\5&2&3\end{array}\right]}\)

Następnie z reguły Sarrusa
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&a&2\\2&1&1\\5&2&3\end{array}\right] = 3 \cdot 1 \cdot 3+2 \cdot 2 \cdot 2+5 \cdot a \cdot 1-2 \cdot a \cdot 3-3 \cdot 2 \cdot 1-5 \cdot 1 \cdot 2=1-a}\)

I tutaj za bardzo nie wiem jak określić rząd macierzy oraz nie wiem czy dobrze policzyłem wyznacznik :/

[Qń]

Źle przepisałeś ostatni wiersz z wyjściowej macierzy, wyznacznik powinien wyjść równy \(\displaystyle{ -a}\). Jeśli ten wyznacznik jest niezerowy, to rząd macierzy jest równy cztery, a jeśli równy zero, to badamy osobno, wstawiając do tej macierzy \(\displaystyle{ a=0}\). A rząd macierzy bez parametru chyba już umiesz policzyć?

Q.

[ctxpl]

Błędnie zapisałem 4 wiersz na forum: powinno być 5232 i w tedy wyznacznik wynosi 1-a i rozumiem że wtedy gdy a = 1 rząd macierzy będzie równy 3 ? ?

Są jakieś definicje jak zależy rząd macierzy od wyznacznika ? Czy sprawdzamy to metodą prób i błędów ?


a co do zadania 1 liczę wyznacznik który wynosi
\(\displaystyle{ -2a^{2}+6a-2 czy taki sam wyszedł tobie ? czy znowu gdzieś się pomyliłem ?}\)

[Qń]

Są jakieś definicje jak zależy rząd macierzy od wyznacznika ? Czy sprawdzamy to metodą prób i błędów ?

Jeśli macierz kwadratowa \(\displaystyle{ n \times n}\) ma wyznacznik niezerowy, to jej rząd jest równy \(\displaystyle{ n}\), a jeśli ma wyznacznik zerowy, to jej rząd jest mniejszy od \(\displaystyle{ n}\) (ale nie wiadomo dokładnie jaki).

a co do zadania 1 liczę wyznacznik który wynosi
\(\displaystyle{ -2a^{2}+6a-2}\) czy taki sam wyszedł tobie ? czy znowu gdzieś się pomyliłem ?

Blisko:
\(\displaystyle{ -2a^{2}+6a-4}\)

Q.