Zastosuj macierz przejścia do znalezienia współrzędnych wektora \(\displaystyle{ [ \frac{-1}{3} ,7]}\) w bazie \(\displaystyle{ [3,-2] , [2,1]}\)
czy nie wystarczy zapisac \(\displaystyle{ [ \frac{-1}{3} ,7]=t*[3,-2]+s*[2,1]}\) i obliczyć czy ten wektor tworzy kombinację liniową?
współrzedne wektora, macierz przejścia
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
współrzedne wektora, macierz przejścia
macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\) do bazy standardowej jest:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}}\)
więc macierz przejścia w "drugą stronę" tzn. z bazy standardowej do \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}}\)
teraz wystarczy obliczyć:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}- \frac{1}{3} \\7\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}}\)
więc macierz przejścia w "drugą stronę" tzn. z bazy standardowej do \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}}\)
teraz wystarczy obliczyć:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
-2 & 1
\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}- \frac{1}{3} \\7\end{pmatrix}}\)
współrzedne wektora, macierz przejścia
A czy nie powinno byc na odwrót? że macierzą przejścia z bazy standardowej do \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}, \ \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\) jest \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}}\)? bo tak właśnie odpowiadali inni w tym poście 136919.htm
-
Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
współrzedne wektora, macierz przejścia
namieszane z oznaczeniami tam jest, ale ważne jest to co napisał Qń, tzn. w macierzy przejścia z danej bazy B do standardowej jako kolumny stoją wektory tej bazy. I jak widać u mnie tak jest.
inny sposób przekonania się, że jest OK:
wektor \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}}\) w naszej bazie zapisuje się jako \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\)
co zgadza się z tym, że:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\)
podobnie z \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\)
inny sposób przekonania się, że jest OK:
wektor \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}}\) w naszej bazie zapisuje się jako \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\)
co zgadza się z tym, że:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}}\)
podobnie z \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\)