bazy, macierz przejścia

[delta000]

Znajdź macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ 1,x,x^2}\) do bazy \(\displaystyle{ 1,x-a,(x-a)^2}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R^2[x]}\) wielomianów stopnia nie wiekszego niż 2. Wyznacz współrzędne wielomianu \(\displaystyle{ f(x) =c_{0} +c _{1}x + c_{2} x^2}\) w tej bazie.


Proszę o pomoc jak zrobić to zadanie

[Qń]

Pierwszy sposób
Z definicji - zapisujemy każdy wektor wyjściowej bazy jako kombinację wektorów docelowej bazy:
\(\displaystyle{ 1 =1 \cdot ( 1) + 0 \cdot (x-a) + 0 \cdot (x-a)^2 \\
x = a\cdot ( 1) + 1 \cdot (x-a) + 0 \cdot (x-a)^2 \\
x^2 = a^2 \cdot ( 1) + 2a \cdot (x-a) + 1 \cdot (x-a)^2}\)
Współczynniki przy kolejnych kombinacjach to kolumny naszej macierzy przejścia, czyli ma ona postać:
\(\displaystyle{ M_{B_1}^{B_2} = \left [ \begin{array} {ccc}
1 & a & a^2 \\
0 & 1 & 2a \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right]}\)

Drugi sposób
Pierwsza baza jest standardowa, zatem macierz przejścia w drugą stroną ma w kolumnach współczynniki wektorów drugiej bazy zapisanych w bazie standardowej:
\(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1} = \left [ \begin{array} {ccc}
1 & -a & a^2 \\
0 & 1 & -2a \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right]}\)
Macierz o którą pytamy to macierz odwrotna do tej - w tym wypadku liczy się bardzo łatwo (wyjdzie oczywiście tyle samo co w pierwszym sposobie).


Jeśli zaś już mamy macierz przejścia \(\displaystyle{ M_{B_1}^{B_2}}\), to jeśli w pierwszej bazie jakiś wektor ma współrzędne \(\displaystyle{ \left [ \begin{array} {c}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \end{array} \right]}\), to w drugiej bazie będzie miał współrzędne: \(\displaystyle{ M_{B_1}^{B_2} \cdot \left [ \begin{array} {c}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \end{array} \right]}\), czyli wystarczy wykonać mnożenie:

\(\displaystyle{ \left [ \begin{array} {ccc}
1 & a & a^2 \\
0 & 1 & 2a \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right] \cdot \left [ \begin{array} {c}
c_1 \\
c_2 \\
c_3 \end{array} \right]}\)

Q.

[kunkanwan]

Troche strach poprawiać ale wydaje mi się że to co napisal Qń zamienia nam z bazy nowej do kanonicznej a w tresci zadania jest odwrotnie dlatego w drugim sposobie nie musimy pisac macierzy odwrotnej.
A w pierwszym sposobie zapisujemy wektory z nowej bazy w bazie kanonicznej.

Może ktoś to potwierdzić lub obalić ?

[Qń]

Może ktoś to potwierdzić lub obalić ?

Potwierdzam .

Rzeczywiście bredziłem, to znaczy zrobiłem to nie w tę stronę co trzeba. Ale za to chociaż w tę stronę, która potrzebna była do drugiej części zadania (co mnie minimalnie tłumaczy).

Q.