Generowanie przestrzeni

[kukinka]

Zadanie 1.
Czy wektory (2,-1,3) (1,0,2) (1,2,1) generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\)?

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ (x _{1} , x_{2}, x_{3})= \alpha(2,-1,3) + \beta(1,0,2) +\gamma(1,2,1) \\
\begin{cases} x_{1}=2\alpha+\beta+\gamma\\ x_{2}=-\alpha+2\gamma\\ x_{3}=3\alpha+2\beta+\gamma\end{cases}\\
\begin{cases} \alpha= \frac{3x_{1}-2x_{2}-2x_{3}}{12} \\ \beta=- \frac{15}{42} x_{1}- \frac{19}{21}x_{2}+ \frac{5}{21}x_{3} \\ \gamma= \frac{1}{8}x_{1}- \frac{1}{12}x_{3} \end{cases}}\)

Obliczyłam coś, ale nie mam pojęcia co do czego i czy jest to dobrze.

Zadanie2.
Sprawdzić, czy (1,0,1,0) należy do przestrzeni generowanej przez wektory (1,0,2,-1) (1,1,0,2) (0,2,1,3)?

Proszę o pomoc w rozwiązaniu 1 i 2 zadania.

[miodzio1988]

1.A po co to liczylas?Wiesz czy na pałe to robiłaś? Bo z tego co napisalas mozna już jakiś wniosek napisac. Maly opis i jest ok.
2. Wskazowka: do czegoś te macierze nam slużą. Zgadnij czemu mialas macierze przed tym dzialem?

[Qń]

Ad 1
\(\displaystyle{ n}\) wektorów jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowej, jeśli są to wektory liniowo niezależne. Zaś są one liniowo niezależne, jeśli rząd macierzy, której są kolumnami (albo wierszami, wszystko jedno) jest równy \(\displaystyle{ n}\).

W naszym przypadku więc te trzy wektory będą rozpinać przestrzeń trzywymiarową (czyli całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)), jeśli macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin {array} {ccc}
2 & -1 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
1 & 2 & 1\end{array} \right]}\)
będzie rzędu trzy.
Czyli na przykład - kiedy będzie miała ona niezerowy wyznacznik.

Ad 2
Wektor \(\displaystyle{ w}\) należy do przestrzeni generowanej przez wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2, \dots ,v_n}\), jeśli istnieją takie liczby rzeczywiste: \(\displaystyle{ a_1,a_2 , \dots , a_n}\), że:
\(\displaystyle{ w= a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n}\)
W naszym wypadku \(\displaystyle{ n=3}\). Powyższy warunek da nam układ czterech równań z trzema niewiadomymi - wystarczy sprawdzić czy ma on rozwiązanie.

Q.

[kukinka]

1.A po co to liczylas?Wiesz czy na pałe to robiłaś? Bo z tego co napisalas mozna już jakiś wniosek napisac. Maly opis i jest ok.
2. Wskazowka: do czegoś te macierze nam slużą. Zgadnij czemu mialas macierze przed tym dzialem?

Liczyłam, bo uznałam, że może chodzi o to by przedstawić dowolny wektor jako kombinację liniową wektorów z przestrzeni, które one mają generować. I nie wiem, czy na tym ma polegać generowanie przestrzeni, więc chciałam się upewnić, czy jest to dobrze. Poza tym mam to zrobić bez użycia macierzy.

[miodzio1988]

A kto Ci nakazał, żeby nie używać macierzy? Przecież macierze po to są. W 1) Twoje rozumowanie jest poprawne.

[kukinka]

OK zgadzam się, że macierze od tego są, ale bardziej chodziło mi o to by dowiedzieć się czy myślę dobrze i wytłumaczenie tego konkretnego sposobu. Mimo wszystko zostało już wszystko wyjaśnione, a ja dziękuje za pomoc.