Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: szczepanik89 »

Zad1
Dane jest przeksztalcenie
\(\displaystyle{ F(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} 2x+y\\y\end{bmatrix}}\) i dwie bazy przestrzeni R2
\(\displaystyle{ B_{1}=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ B_{2}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}}\)
Znalezc macierz tego przeksztalcenia w bazach B1 i B2 \(\displaystyle{ M^{B_{1}}_{B_{2}}(F)}\)
Zad2
Dane jest przeksztalcenie F:R2->R3
\(\displaystyle{ F(\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} x_{1}+x_{2}\\x_{1}-x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\)
W R2 mamy baze kanoniczna a w R3 baze C
\(\displaystyle{ C=\begin{bmatrix} 1&0&1\\1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix}}\)
Znalezc macierz przeksztalcenia w bazach B i C \(\displaystyle{ M^{B}_{C}(F)}\)

wyszlo mi ze
w pierwszym
\(\displaystyle{ M^{B_{1}}_{B_{2}}(F)\begin{bmatrix} -\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}}\)
a w drugim
\(\displaystyle{ M^{B}_{C}(F)=\begin{bmatrix} 1&-1\\0&-1\\0&2\end{bmatrix}}\)

-- 28 sierpnia 2009, 08:28 --

moglby ktos to sprawdzic?
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: JankoS »

Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi :V \rightarrow W}\) nie zależy od bazy przestrzeni W.
Powyższe nie jest twierdzeniem. Dowiódł mi tego Kolega Zwardon.
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2009, o 15:42 przez JankoS, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: Zordon »

JankoS pisze: Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi :V \rightarrow W}\) nie zależy od bazy przestrzeni W.
a to dlaczego?


Jak dla mnie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}_{B_1}=\begin{bmatrix} -\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\end{bmatrix}_{B_2}=-\frac{2}{5}\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}+\frac{4}{5}\begin{bmatrix} 3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\0\end{bmatrix}}\)

Podobnie

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}_{B_1}=...=\begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}}\)

Zatem jest OK

a w drugim w definicji przekształcenia jest coś nie tak: skąd te \(\displaystyle{ x_3}\)?
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: JankoS »

Zordon pisze: Jak dla mnie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}_{B_1}=\begin{bmatrix} -\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\end{bmatrix}_{B_2}=...}\)
[/latex]?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}_{B_1}=\begin{bmatrix} -\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\end{bmatrix}_{B_2} \neq \begin{bmatrix} 2 \cdot 1+0\\0\end{bmatrix}_{B_2}}\).
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: Zordon »

JankoS pisze: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}_{B_1}=\begin{bmatrix} -\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\end{bmatrix}_{B_2} \neq \begin{bmatrix} 2 \cdot 1+0\\0\end{bmatrix}_{B_2}}\).
1. No i bardzo dobrze, bo \(\displaystyle{ B_2}\) nie jest bazą standardową
2. Nie odpowiedziałeś na moje pytanie z poprzedniego posta.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: JankoS »

Zordon pisze:
1. No i bardzo dobrze, bo \(\displaystyle{ B_2}\) nie jest bazą standardową
2. Nie odpowiedziałeś na moje pytanie z poprzedniego posta.
ad 1. A ma być?
ad 2. To nie do mnie.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: Zordon »

Zordon pisze:
JankoS pisze: Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi :V \rightarrow W}\) nie zależy od bazy przestrzeni W.
a to dlaczego?
Co do wcześniejszych wątpliwości to problemem może być to, że stosujemy inne oznaczenia na współrzędne wektorów w różnych bazach etc. Ale to co powyżej cytuję jest dla mnie niezrozumiałe...
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: JankoS »

Zordon pisze:
Zordon pisze:
JankoS pisze: Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi :V \rightarrow W}\) nie zależy od bazy przestrzeni W.
... to co powyżej cytuję jest dla mnie niezrozumiałe...
KOlega ma rację. Tkwiłem w błędzie.
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2009, o 15:47 przez JankoS, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: Zordon »

JankoS pisze: Niech bazą W będą \(\displaystyle{ b_1, ...,b_m}\). Wtedy istnieja \(\displaystyle{ \alpha_{ij}}\) takie że
\(\displaystyle{ h(v_1)=\alpha_{11}b_1+\alpha_{21}b_2+...+\alpha_{m1}b_m\\h(v_2)=\alpha_{12}b_1+\alpha_{22}b_2+...+\alpha_{m2}b_m\\.....\\h(v_n)=\alpha_{1n}b_1+\alpha_{22}b_2+...+\alpha_{mn}b_m}\).

Macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}&...&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&...&\alpha_{2n}\\...\\ \alpha_{m1}&\alpha_{m2}&,,,&\alpha_{mn}\end{bmatrix}}\) jest macierzą tego przekształcenia.
Przy innej bazie W współczynniki \(\displaystyle{ \alpha_{ij}}\) będą przecież inne.

To może teraz uzgodnijmy oznaczenia.
Rozważmy pewną skończenie wymiarową przestrzeń liniową \(\displaystyle{ V}\) i jej bazę \(\displaystyle{ B=(b_1,b_2,...,b_n)}\)

Oznaczamy \(\displaystyle{ [v]_B=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\...\\a_n\end{bmatrix}}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ v=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n}\)
Przedtem stosowałem inną notację, ale po przejrzeniu materiałów muszę przyznać, że ta jest bardziej sensowna.

No i teraz niech \(\displaystyle{ V,W}\) to przestrzenie liniowe a \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to odpowiednio ich bazy. Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ F:V \rightarrow W}\) z bazy A do bazy B oznaczamy przez:
\(\displaystyle{ M_B^A(F)}\)
i żądamy by spełniała dla wszelkich \(\displaystyle{ v \in V}\):
\(\displaystyle{ M_B^A(F) \left[ v\right]_A= \left[ F(v)\right]_B}\)

Teraz łatwo już sprawdzić, że w pierwszym przykładzie macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1\\0&1\end{bmatrix}}\) tego nie spełnia. Jest to macierz \(\displaystyle{ M_{st}^{st}(F)}\) (gdzie st oznacza bazę standardową) a nie \(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)=M_{B_2}^{st}(F)}\) (bo \(\displaystyle{ B_1}\) to baza standardowa).

No to wyznaczę teraz szukaną macierz \(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)}\).
Zauważmy najpierw, że dla \(\displaystyle{ v \in R^2}\)
\(\displaystyle{ [v]_{B_1}=v}\) bo \(\displaystyle{ B_1}\) to baza standardowa.
Dalej łatwo zauważyć, że odwzorowanie \(\displaystyle{ [ \cdot ]_{B_2}}\) jest liniowe i zadaje się macierzą:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}}\)
rzeczywiście, mamy:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}\right]_{B_2}= \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}}\)
co zgadza sie z tym, że \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}}\)
podobnie:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{bmatrix} 3\\1\end{bmatrix}\right]_{B_2}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}}\)

zatem mamy dla wektorów \(\displaystyle{ v \in R^2}\):
\(\displaystyle{ [v]_{B_2}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}v}\)

Korzystając z naszych obserwacji mamy, że jeśli dla wszelkich \(\displaystyle{ v \in R^2}\) ma zachodzić:
\(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F) \left[ v\right]_{B_1}= \left[ F(v)\right]_{B_2}}\)
to:
\(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)v=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}F(v)}\)
zapiszmy teraz \(\displaystyle{ v=\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}F(\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix})}\)
\(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2x+y\\y\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}}\)

I teraz już wyraźnie widać, że szukana macierz \(\displaystyle{ M_{B_2}^{B_1}(F)=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2&1\\0&1\end{bmatrix}}\)

co po przeliczeniu zgadza się z odpowiedzią Autora tego tematu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: »

JankoS pisze:Macierz przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi :V \rightarrow W}\) nie zależy od bazy przestrzeni W.
Co prawda Zordon już to napisał, ale na wszelki wypadek i ja powtórzę, że to oczywista nieprawda.

Q.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Macierz przeksztalcenia sprawdzenie

Post autor: JankoS »

Niewyczerpana okazała się cierpliwość Kolegi Zordona w wywiedzeniu mnie z błędu. Gorąco Mu za to dziękuję i przeprszam za mój upór.
Pozdrawiam.
JanKo
ODPOWIEDZ