Zbadać rozwiązywalnosc ukladu

jareczek · Post autor: **jareczek** » 28 sie 2009, o 01:43

Zbadać rozwiązywalnosc ukladu w zaleznosci od \(\displaystyle{ a \in R}\) Wyznaczyc rozwiazania tego ukladu.
\(\displaystyle{ \begin{cases} a ^{2}x +2y=4 \\ 2x+y=a \end{cases}}\)
Witam ,chcialbym zeby ktos po kolei rozwiazal to zadanko ,chodzi mi poprostu o sposob robienia .
dzieki z góry.

szczepanik89 · Post autor: **szczepanik89** » 28 sie 2009, o 01:48

zastosuj wzory Cramera
oblicz wyznacznik glowny i wyznaczniki po x i y
nastepnie skorzystaj z teorii
ze moze byc 1 rozwiazanie lub nieskonczenie wiele rozwiazan, lub brak rozwiazan

JankoS · Post autor: **JankoS** » 28 sie 2009, o 12:29

szczepanik89 pisze:zastosuj wzory Cramera
oblicz wyznacznik glowny i wyznaczniki po x i y

Albo (co chyba wyjdzie na to samo) wyznaczyć z drugiego y, podstawić do pierwszego i prezprowadzić dyskusję.

jareczek · Post autor: **jareczek** » 28 sie 2009, o 14:42

szczepanik89 pisze:zastosuj wzory Cramera
oblicz wyznacznik glowny i wyznaczniki po x i y

To umiem tylko wlasnie mam problem co dalej .

argv · Post autor: **argv** » 28 sie 2009, o 15:08

Mozna tez tak:

uklad \(\displaystyle{ AX=B}\) ma jedno rozwiazanie \(\displaystyle{ \Leftrightarrow detA \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cc}a^{2}&2\\2&1\end{array}\right| = a^{2}-4 = (a-2)(a+2)}\)
Czyli jedno rozwiazanie \(\displaystyle{ \Leftrightarrow a \neq 2 \wedge a \neq -2}\)

Teraz sprawdzamy dla \(\displaystyle{ 2}\) i\(\displaystyle{ -2}\) z Tw KC:

\(\displaystyle{ a = 2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2&|&4\\2&1&|&2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2&1&|&2\\0&0&|&0\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ rzA = rz[A|B] = 1 < 2}\) uklad ma nieskonczenie wiele rozwiazan dla \(\displaystyle{ a = 2}\)

\(\displaystyle{ a = -2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&2&|&4\\2&1&|&-2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2&1&|&2\\0&0&|&-4\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ rzA \neq rz[A|B]}\) uklad jest sprzeczny dla \(\displaystyle{ a = -2}\)

JankoS · Post autor: **JankoS** » 28 sie 2009, o 15:18

Bez Cramera.
Z drugiego \(\displaystyle{ y=a-2x}\) podstawiam do pierwszego i mam \(\displaystyle{ a^2x+2a-4x=4 \Leftrightarrow (a^2-4)x=4-2a}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ a^2-4 \neq 0}\) - jedno rozwiązanie.
Jeżeli \(\displaystyle{ a^2-4 \neq 0}\) i \(\displaystyle{ 4-2a=0}\) - 0 rozwiązań.
Jeżeli \(\displaystyle{ a^2-4 = 0}\) i \(\displaystyle{ 4-2a=0}\) - nieskończenie wiele rozwiązań.
Łatwo wyliczyć, że dla \(\displaystyle{ |a| \neq 2}\) układ ma jedno rozwiązanie, dla \(\displaystyle{ a= 2}\) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, dla \(\displaystyle{ a= -2}\) zero rozwiązań.

jareczek · Post autor: **jareczek** » 28 sie 2009, o 18:59

argv, Tak robilem ale wlasnie nie bylo to kompletne bo jeszcze trzeba bylo zrobic wyznaczniki dla x i y i moje pytanie brzmi jak to oblicze [te wyznaczniki] to jak okreslic jakie jest rozwiaznie.

argv · Post autor: **argv** » 28 sie 2009, o 19:20

argv, Tak robilem ale wlasnie nie bylo to kompletne

Jak dla mnie jest kompletne w koncu w zadaniu nie jest powiedziany zeby liczyc Cramerem od poczatku do konca tylko przedyskutowac

zrobic wyznaczniki dla x i y i moje pytanie brzmi jak to oblicze [te wyznaczniki] to jak okreslic jakie jest rozwiaznie.

Poczytaj to: