Witam, mam problem z następującym zadaniem. Proszę o pomoc.
Dla każdego z poniższych przeszktałceń liniowych \(\displaystyle{ \varphi}\): V \(\displaystyle{ \to}\)W zbadać, czy istnieje takie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \psi_{1}}\): W \(\displaystyle{ \to}\)V, że \(\displaystyle{ \psi_{1}}\) \(\displaystyle{ \circ}\)\(\displaystyle{ \varphi}\)= id oraz zbadać czy istnieje takie przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \psi_{2}}\): W \(\displaystyle{ \to}\)V, że \(\displaystyle{ \varphi}\)\(\displaystyle{ \circ}\)\(\displaystyle{ \psi_{1}}\)=id. Jeśli tak, to znaleźć przykład takiego \(\displaystyle{ \psi_{i}}\) podając jego wzór.
a) \(\displaystyle{ \varphi}\): \(\displaystyle{ R^{3}}\) \(\displaystyle{ \to}\) \(\displaystyle{ R^{2}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\) ((\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\)))=(3\(\displaystyle{ x_{1}}\)-\(\displaystyle{ x_{2}}\)+2\(\displaystyle{ x_{3}}\), -\(\displaystyle{ x_{1}}\)+5\(\displaystyle{ x_{2}}\)+2\(\displaystyle{ x_{3}}\)),
b) \(\displaystyle{ \varphi}\): \(\displaystyle{ R^{2}}\) \(\displaystyle{ \to}\) \(\displaystyle{ R^{3}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\) ((\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\)))=(7\(\displaystyle{ x_{1}}\)+\(\displaystyle{ x_{2}}\), 2\(\displaystyle{ x_{1}}\)+3\(\displaystyle{ x_{2}}\), \(\displaystyle{ x_{1}}\)-\(\displaystyle{ x_{2}}\)),
c) \(\displaystyle{ \varphi}\): \(\displaystyle{ R^{3}}\) \(\displaystyle{ \to}\) \(\displaystyle{ R^{2}}\), \(\displaystyle{ \varphi}\) ((\(\displaystyle{ x_{1}}\),\(\displaystyle{ x_{2}}\),\(\displaystyle{ x_{3}}\)))=(\(\displaystyle{ x_{1}}\)-3\(\displaystyle{ x_{2}}\)+2\(\displaystyle{ x_{3}}\), -3\(\displaystyle{ x_{1}}\)+9\(\displaystyle{ x_{2}}\)-6\(\displaystyle{ x_{3}}\)).
Przekształcenie identycznościowe
-
JankoS
- Użytkownik
- Posty: 3101
- Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zarów
- Pomógł: 635 razy
Przekształcenie identycznościowe
"Na mój rozum" nie ma takich przekształceń.
a) \(\displaystyle{ Ker \varphi \neq \{0\}}\). Stąd \(\displaystyle{ \varphi:R^3 \rightarrow (na) R^2}\) nie jest różnowartościowe i nie istnieje dla niego przekształcenie odwrotne lewostronnie \(\displaystyle{ \varphi_1:R^2 \rightarrow R^3}\), a więc nie ma też złożenia. Tak samo nie istnieje \(\displaystyle{ \varphi_2:R^2 \rightarrow (na) R^3}\).
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \varphi_1:R^2 \rightarrow R^3}\) istnieje i ma macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\). Z awrunków zadania ma być:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&-1&2\\1&5&2\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a+b=1\\ -a+5b=0\\a+b=0\\...\end{cases}}\). Układ tych trzech (z 9) równań jest sprzeczny a więc nie istnieje \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\) spełniająca warunki zadania.
Podobnie można sprawdzić resztę.
a) \(\displaystyle{ Ker \varphi \neq \{0\}}\). Stąd \(\displaystyle{ \varphi:R^3 \rightarrow (na) R^2}\) nie jest różnowartościowe i nie istnieje dla niego przekształcenie odwrotne lewostronnie \(\displaystyle{ \varphi_1:R^2 \rightarrow R^3}\), a więc nie ma też złożenia. Tak samo nie istnieje \(\displaystyle{ \varphi_2:R^2 \rightarrow (na) R^3}\).
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \varphi_1:R^2 \rightarrow R^3}\) istnieje i ma macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\). Z awrunków zadania ma być:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&-1&2\\1&5&2\end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a+b=1\\ -a+5b=0\\a+b=0\\...\end{cases}}\). Układ tych trzech (z 9) równań jest sprzeczny a więc nie istnieje \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}}\) spełniająca warunki zadania.
Podobnie można sprawdzić resztę.