Oblicz współrzędne wskazanego wektora v w wybranej przez siebie bazie przestrzeni V:
\(\displaystyle{ V={f \in R _{3} [x]:f(1)=f(0) }, v=2x ^{3} -x ^{2} -x+5}\)
bazą musi być wielomian stopnia co najwyżej 3, więc \(\displaystyle{ V= ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d}\),
po podstawieniu \(\displaystyle{ f(1)=f(0)}\) mamy \(\displaystyle{ a+b+c=0}\).
i dalej nie wiem co powinnam zrobić, proszę o pomoc
wektor i wybrana baza
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wektor i wybrana baza
Skoro \(\displaystyle{ a+b+c=0}\), to \(\displaystyle{ c= -a-b}\), czyli wielomiany z \(\displaystyle{ V}\) są postaci:
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2-ax-bx+d=a(x^3-x) + b(x^2-x) +d}\)
Stąd bazą może być na przykład \(\displaystyle{ \{ x^3-x, x^2- x, 1\}}\)
Łatwo policzyć (konstruując odpowiedni układ równań, albo nawet na palcach), że:
\(\displaystyle{ 2x^3-x^2-x+5 = 2 \cdot (x^3-x) + (-1)\cdot (x^2-x) + 5 \cdot 1}\)
czyli współrzędne wektora \(\displaystyle{ v}\) w tej bazie to \(\displaystyle{ [2,-1,5]}\).
Q.
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2-ax-bx+d=a(x^3-x) + b(x^2-x) +d}\)
Stąd bazą może być na przykład \(\displaystyle{ \{ x^3-x, x^2- x, 1\}}\)
Łatwo policzyć (konstruując odpowiedni układ równań, albo nawet na palcach), że:
\(\displaystyle{ 2x^3-x^2-x+5 = 2 \cdot (x^3-x) + (-1)\cdot (x^2-x) + 5 \cdot 1}\)
czyli współrzędne wektora \(\displaystyle{ v}\) w tej bazie to \(\displaystyle{ [2,-1,5]}\).
Q.