macierz odwzorowania

[bart_503]

Wyznaczyć macierz odwzorowania T : R2 → R3 , T(x, y) = (− y, x, x + y) w bazach
R2: e1=[1,0], e2=[0,1], R3: d1=[1,0,0], d2=[1,1,1], d3=[1,0,1].

[Qń]

Mamy: \(\displaystyle{ M( \phi )_A^B = M_{st}^B \cdot M( \phi )_{st}^{st}\cdot M_A^{st}}\).
gdzie \(\displaystyle{ st}\) to bazy standardowe w danej przestrzeni, \(\displaystyle{ A}\) - baza wyjściowa, \(\displaystyle{ B}\) - baza docelowa.

U nas \(\displaystyle{ A= st}\), więc wzór redukuje się do:
\(\displaystyle{ M( \phi )_A^B = M_{st}^B \cdot M( \phi )_{st}^{st}}\).

Z podanego wzoru na przekształcenie dostajemy od razu, że :
\(\displaystyle{ M( \phi )_{st}^{st} =
\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
1 &1 \end{array}\right)}\)

Macierz zmiany bazy z \(\displaystyle{ B}\) na standardową ma w kolumnach po prostu wektory bazowe z \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ M_B^{st} =
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1&1 \\
0 &1 &0\\
0 & 1 &1\end{array}\right)}\)

Natomiast:
\(\displaystyle{ M_{st}^B = \left( M_B^{st}\right)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 1&1 \\
0 &1 &0\\
0 & 1 &1\end{array}\right)^{-1}=
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0&-1 \\
0 &1 &0\\
0 & -1 &1\end{array}\right)}\)

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ M( \phi )_A^B =\left( \begin{array}{ccc}
1 & 0&-1 \\
0 &1 &0\\
0 & -1 &1\end{array}\right)
\cdot
\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
1 &1 \end{array}\right) =
\left( \begin{array}{cc}
-1 & -2 \\
1 & 0 \\
0 &1 \end{array}\right)}\)

Q.

PS. Można też wprost z definicji, ale w ogólności powyższa metoda jest lepsza.