Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: szczepanik89 »

znalezc macierz przeksztalcenia liniowego F w bazach kanonicznych. Dla kazdego z tych przeksztalcen znalezc jadro KerF i obraz ImF. Podac bazy tych podprzestrzeni.
prosze o pomoc bo proboje zrozumiec ta algebre ale za bardzo nie wiem o co chodzi... wiec prosze o przyzwoite wyjasnienie.
a)\(\displaystyle{ F:R^{4}->R^{5}}\)
\(\displaystyle{ F(\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{bmatrix})=\begin{bmatrix} x_{1}+x_{2}\\x_{2}+x_{3}\\x_{3}+x_{4}\\x_{3}\\x_{1}\end{bmatrix}}\)
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: argv »

Mamy \(\displaystyle{ f(x_{1}, ... x_{4}) = (x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4}, x_{3}, x_{1})}\)
Macierz przeksztalcenia w bazach kanonicznych czyli \(\displaystyle{ M(f)_{st}^{st}}\) to po prostu ustawiasz "wierszami"


\(\displaystyle{ M(f)_{st}^{st} = \left[\begin{array}{ccccc}
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&1\\
0&0&1&0\\
1&0&0&0
\end{array}\right]}\)


Jądro: dopisujesz kolumne zer na koncu i sprowadzasz do schodkowej zredukowanej (i dalej takie normalne szukanie czy raczej odczytanie bazy)

Obraz: sprowadziles juz do schodkowej zredukowanej, wybierasz te kolumny w ktorych masz "schodkowe" jedynki - ich odpowiedniki z wyjsciowego ukladu tworza baze obrazu.

Tak chyba najkrocej
Ostatnio zmieniony 25 sie 2009, o 22:25 przez argv, łącznie zmieniany 2 razy.
miodzio1988

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: miodzio1988 »

Jądro i obraz łatwo znalezc jesli się wie co to jest. Wiesz?
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: szczepanik89 »

nie mam pojecia wiec jakbys mogl to prosze wytlumacz bo nie rozumiem tych definicji wogole;/
miodzio1988

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: miodzio1988 »

A książek to już nie ma? Google zniknelo? Pojecia mozesz sprawdzic. Czego nie rozumiesz w tych definicjach? Konkretnie.
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: szczepanik89 »

ja ta macierz inaczej rozumiem mamy 4 wektory w bazie standardowej (0,0,0,1) (0,0,1,0) (1,0,0,0) (0,1,0,0)
i teraz podaje ich przeksztalcenia w R5

L(1,0,0,0)=(1,0,0,0,1)
L(0,1,0,0)=(1,1,0,0,0)
L(0,0,1,0)=(0,1,1,1,0)
L(0,0,0,1)=(0,0,1,0,0)
i teraz z nich kolumnami robie macierz
\(\displaystyle{ F(e_{k})=\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\)-- 25 sierpnia 2009, 22:20 --uwierz ze umiem bawic sie gogle niestety nie jestem orlem z tego bo mam to 1 raz na studiach wiec mam prawo nie rozumiec nie rozumiem wogole
Niech F:V->W bedzie przeksztalceniem liniowym
Zbior wektorow v nalezacych do V dla ktorych F(v)=0 nazywamy jadrem przeksztalcenia F i oznaczamy KerF.
Zbior wektorow w nalezacych do W dla ktorych istnieje v nalezace do V takie ze F(v)=w nazywamy obrazem przeksztalcenia i oznaczamy ImF.
jak to sie ma do mojego zadania prosze tylko o zrobienie tego przykladu bo chce to zrozumiec w miare.
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: argv »

Fakt zle zapisalem wyzej juz poprawilem - tej ostatniej kolumny zer nie ma, dopisalem ja bo chcialem juz obraz liczyc
Ostatnio zmieniony 25 sie 2009, o 22:31 przez argv, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: szczepanik89 »

no dobra a umie mi ktos pomoc z tym jadrem i obrazem bo tego serio nie kminie a egzamin mam za dwa tygodnie a to sa ostatnie rzeczy ktorych nie umiem, opanowalem juz zaleznosc liniowa wektorow bazy , generatory baz , wartosci i wektory wlasne macierzy.
niestety przeksztalcenia liniowe jadro i obraz a takze macierz przeksztalcenia przechodza moje zdolnosci;/ ehh
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: argv »

No wiec dopisz te kolumne zerowa i sprowadz do schodkowej zredukowanej.
Awatar użytkownika
szczepanik89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 15 lip 2007, o 02:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 6 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: szczepanik89 »

nie wiem serio o co ci chodzi, wyjasnij mi na czym polega wyznaczanie tego jadra i obrazu bo nie rozumiem tej definicji a w ksiazce jest to po kancie wytlumaczone;/
Awatar użytkownika
argv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 27 maja 2009, o 01:27
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 66 razy

Macierz przekstrzalcenia liniowego F w bazach kanonicznych

Post autor: argv »

To rozwiaze sobie dla wprawy Jakby cos bylo zle /bez sensu prosze krzyczec

1. Jądro - zbior wektorow "wchodzacych" ktore w wyniku przeksztalcaja sie w wektor zerowy

Mamy:

\(\displaystyle{ M(f)_{st}^{st} = \begin{bmatrix}
1&1&0&0
\\0&1&1&0
\\0&0&1&1
\\0&0&1&0
\\1&0&0&0
\end{bmatrix}}\)


Dopisujemy kolumne zer i sprowadzamy do schodkowej zredukowanej:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&1&0&0&|&0
\\0&1&1&0&|&0
\\0&0&1&1&|&0
\\0&0&1&0&|&0
\\1&0&0&0&|&0
\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&0&0&0&|&0
\\0&1&0&0&|&0
\\0&0&1&0&|&0
\\0&0&0&1&|&0
\\0&0&0&0&|&0
\end{bmatrix}}\)


Stad widzimy ze \(\displaystyle{ x_{1}=...=x_{4}=0}\)
Tak więc Ker(f) = \(\displaystyle{ \{ (0, 0, 0, 0)\}}\) wiec nasze przeksztalcenie jest monomorfizmem
Baza jądra : \(\displaystyle{ \emptyset}\)

Obraz:

Wiemy ze jesli uklad wektorow \(\displaystyle{ \alpha_{1}, ..., \alpha_{n}}\) tworzy baze \(\displaystyle{ R^{4}}\) to uklad \(\displaystyle{ f(\alpha_{1}), ..., f(\alpha_{n})}\) rozpina \(\displaystyle{ im(f)}\) stad:

im(f)= \(\displaystyle{ = lin(f(\varepsilon_{1}), f(\varepsilon_{2}) , f(\varepsilon_{3}) , f(\varepsilon_{4})) =
(lin((1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0))}\)

Baza im(f) = np. \(\displaystyle{ \{ (1, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0)\}}\)

Wymiar obrazu = 4, wymiar jadra 0, zgadza sie, ... powinno byc chyba dobrze
ODPOWIEDZ