Zbadać czy istnieje baza w endomorfizmie

[corax]

Mam problem z jednym typem zadań i nie mogę za żadne skarby ich rozwiązać:

Dla poniższego endomorfizmu \(\displaystyle{ \psi: R^3 \rightarrow R^3}\) oraz macierzy \(\displaystyle{ A \in M_{3x3}(R)}\) zbadać czy istnieje taka baza B przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\), że \(\displaystyle{ M(\psi)^B_B=A}\). Jeślit tak to zbadać przykład takiej bazy
\(\displaystyle{ \psi((x_1,x_2,x_3)) = (x_1 +x_2 +x3, -x_2+2x_3,-2x_2+3x_3), A= \left[\begin{array}{ccc}4&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{array}\right]}\)

Nie mam pomysłu na to zadanie, pewnie trzeba skorzystać z podobieństwa, ale niestety mam problem z wyznaczeniem tej macierzy odwracalnej...

[Zordon]

od razu widać że nie, ponieważ \(\displaystyle{ \psi}\) jest izomorfizmem (czyli wymiar obrazu 3), a macierz A (ma rząd 2) zadaje przekształcenie o wymiarze obrazu równym 2.

[corax]

Masz racje, wziąłem pierwszy lepszy przykład i akurat się trafił taki łatwy.
Ta sama treść tylko przekształcenie inne (wyznaczniki, rzędy i ślady są w obu macierzach takie same)
\(\displaystyle{ \psi((x_1,x_2,x_3)) = (4x_1 -2x_2+x_3, 3x_1-x_2+x_3,2x_3), A= \left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right]}\)

[Zordon]

wystarczy sprawdzić, czy postać Jordana endomorfizmu \(\displaystyle{ \psi}\) jest taka sama jak macierzy A (która akurat już jest w formie Jordana). Jeśli tak jest to odpowiedź jest twierdząca, jeśli nie to przecząca.

[corax]

Akurat w/w przykładzie postać Jordana nie była taka sama.
To więc to samo zadanie, ale znowu przekształcenie inne:
\(\displaystyle{ \psi((x_1,x_2,x_3)) = (x_1 +2x_2+4x_3, -5x_2+3x_3,x_3), A= \left[\begin{array}{ccc}-3&4&0\\2&-1&0\\1&3&1\end{array}\right]}\)
W postaci Jordana obie macierze wyglądają np. tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&5\end{array}\right]}\)
No ale jak wyznaczyć przykładową bazę?

[Zordon]

No jeśli mamy dwie macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) (niech np. A jest macierzą przekształcenia \(\displaystyle{ \psi}\)w bazie standardowej) o tej samej postaci Jordana \(\displaystyle{ J}\), to zachodzi:

\(\displaystyle{ A=PJP^{-1}}\)
\(\displaystyle{ B=SJS^{-1}}\)
dla pewnych odwracalnych macierzy \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ S}\)

Więc:
\(\displaystyle{ J=P^{-1}AP}\)
\(\displaystyle{ J=S^{-1}BS}\)
porównując stronami mamy:
\(\displaystyle{ P^{-1}AP=S^{-1}BS}\) więc
\(\displaystyle{ A=PS^{-1}BSP^{-1}}\)
\(\displaystyle{ A=PS^{-1}B(PS^{-1})^{-1}}\)

zatem macierzą przejścia jest \(\displaystyle{ PS^{-1}}\) (jej kolumny to wektory bazy, w której przekształcenie \(\displaystyle{ \psi}\) ma macierz \(\displaystyle{ B}\).

Więc należy znaleźć bazy jordanowskie tamtych macierzy i potem wymnożyć odpowiednie macierze. Mam nadzieję, że teraz jest to trochę jaśniejsze.

Teraz widzę, że moja macierz B to u Ciebie A, więc jest troche zamieszania

[corax]

No właśnie, mam problem ze znalezieniem tych baz Jordana. W podręczniku znalazłem przykład, ale jest to tak napisane, że nie jestem nawet w stanie powtórzyć, a o wyznaczeniu bazy Jordana jest tylko jedno twierdzenie:
\(\displaystyle{ \psi(\alpha_i)=a \cdot \alpha_i - \alpha_{i-1}}\)
Niestety nie umiem tego wykorzystać...

[sawiola]

W podręczniku jest w dowodzie do twierdzenia 6.27 opisany sposób znajdowania baz Jordana i później w przykładzie pod dowodem to opisują. Wiem, że to jest zbyt długi i trudny sposób znajdowania bazy i wiem że na ćwiczeniach u mojego kumpla inna prowadząca podawała inny sposób znajdowania tej bazy, podobno dużo prostszy i przyjemniejszy. Jak się dowiem jaki to Ci napisze

[corax]

Właśnie ten przykład miałem na myśli...
Ale jestem wdzięczny za zainteresowanie