Układ równań o współczynnikach zespolonych

[Wasilewski]

Jednorodny układ równań
\(\displaystyle{ d_{11} z_{1} + \ldots + d_{1n} z_{n} = 0, \\
\ldots \\
d_{n1}z_{1} + \ldots + d_{nn} z_{n} = 0}\)
o współczynnikach \(\displaystyle{ d_{kl} = a_{kl} + i b_{kl}}\) i niewiadomych \(\displaystyle{ z_{l} = x_{l} + iy_{l}}\) ma, jak wiadomo, rozwiązanie niezerowe, gdy wyznacznik układ jest zerem. Daje nam to dwie równości wiążące liczby \(\displaystyle{ a_{kl}}\) i \(\displaystyle{ b_{kl}}\), gdyż wyznacznik ten będzie liczbą zespoloną. Z drugiej strony możemy ten układ rozpatrywać jako układ \(\displaystyle{ 2n}\) równań z \(\displaystyle{ 2n}\) niewiadomymi \(\displaystyle{ x_{l}}\) oraz \(\displaystyle{ y_{l}}\), skąd będziemy mieli jedynie jedno równanie łączące liczby \(\displaystyle{ a_{kl}}\) i \(\displaystyle{ b_{kl}}\). Należy wyjaśnić ten paradoks.

Jeśli ktoś ma odrobinę wolnego czasu, to może pogłowić się nad tym interesującym problemem.

[max]

Ukryta treść:    

Wypiszmy ten układ \(\displaystyle{ 2n}\) równań:
\(\displaystyle{ a_{11}x_{1} + \ldots + a_{1n}x_{n} - b_{11}y_{1} -\ldots -b_{1n}y_{n} = 0\\
\vdots \\
a_{n1}x_{1} + \ldots + a_{nn}x_{n} - b_{n1}y_{1} -\ldots -b_{nn}y_{n} = 0\\
b_{11}x_{1} + \ldots + b_{1n}x_{n} + a_{11}y_{1} + \ldots + a_{1n}y_{n} = 0\\
\vdots \\
b_{n1}x_{1} + \ldots + b_{nn}x_{n} + a_{n1}y_{1} + \ldots + a_{nn}y_{n} = 0\\}\)

Jest to bardzo szczególny układ \(\displaystyle{ 2n}\) równań - jego macierz jest postaci:
\(\displaystyle{ C := \begin{bmatrix}A & -B\\ B & A\end{bmatrix}\in M_{2n\times 2n}(\mathbb{R})}\)
gdzie \(\displaystyle{ A = (a_{ij})_{i,j=1,\ldots, n}, \ B = (b_{ij})_{i,j = 1,\ldots, n}}\)

Podczas gdy macierz układu wyjściowego to:
\(\displaystyle{ D := A + iB}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ \det(C) = \det\begin{bmatrix}A & -B\\ B & A\end{bmatrix}=
(-i)^{2n}\det\begin{bmatrix}iA & -iB\\ iB & iA\end{bmatrix} = \\
=(-i)^{2n}\det\begin{bmatrix}iA & -iB\\ -A + iB & iA + B\end{bmatrix} =
(-i)^{2n}\det\begin{bmatrix}iA - B & -iB\\ 0 & iA + B\end{bmatrix} = \\
=\det\begin{bmatrix}A + iB & B\\ 0 & A - iB\end{bmatrix} =
\det(A + iB)\det(A - iB)}\)

Ponieważ macierze \(\displaystyle{ A, B}\) mają wyrazy rzeczywiste, to
\(\displaystyle{ \det(A - iB) = \overline{\det(A + iB)}}\)

Jeśli teraz oznaczymy \(\displaystyle{ \det(D) =:z = a + ib,}\) to okazuje się, równość:
\(\displaystyle{ \det (C) = 0}\) przyjmuje postać \(\displaystyle{ |z|^{2} = 0,}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ z = 0,}\) i żadnego paradoksu nie widać - w liczbach rzeczywistych dwa równania \(\displaystyle{ a = 0, \ b = 0}\) są równoważne jednemu równaniu \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = 0.}\)

[Wasilewski]

Ok, takie samo było moje rozwiązanie.