Układ Równań z parametrem

gosieniac · Post autor: **gosieniac** » 20 sie 2009, o 11:18

Jak mam wyznaczyć parametr \(\displaystyle{ \alpha}\) dla którego układ ten jest oznaczony? Jak policzyć te rzędy?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha x _{1} -x _{2} =1 \\ x _{1} - \alpha x _{2} =1 \\ 3x _{1} -3x _{2} =2 \end{cases}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2009, o 11:25

Jaki jest problem? Twierdzenie Kroneckera znasz? Wiesz co to jest rząd macierzy?

gosieniac · Post autor: **gosieniac** » 20 sie 2009, o 11:32

Znam, musi rząd A równać się rzędowi U. Ale jak mam policzyć te rzędy z parametrami

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 20 sie 2009, o 11:37

Normalnie. Wykonujesz kilka operacji na wierszach i liczysz. Dany rząd będzie oczywiście zależał od tego parametru, dlatego musisz zbadać kilka przypadkow. (które będą doskonale widoczne po tych elementarnych operacjach na wierszach)

Qń · Post autor: Qń » 20 sie 2009, o 11:49

Rozważmy wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ (A|b)}\), czyli

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccc}
\alpha & -1 & 1 \\
1 & - \alpha & 1 \\
3 & -3 & 2 \end{array} \right| = -2(\alpha -1) (\alpha -2)}\)

Jeśli ten wyznacznik jest różny od zera, to znaczy, że \(\displaystyle{ rz(A|b) =3}\). Natomiast rząd \(\displaystyle{ A}\) jest równy co najwyżej dwa - wtedy więc układ jest sprzeczny. Jeśli zaś wyznacznik jest równy zero, to \(\displaystyle{ rz(A|b) \leq 2}\) - wtedy dla każdej alfy osobno sprawdzamy ile rozwiązań ma układ. Tutaj dla \(\displaystyle{ \alpha = 1}\) układ będzie sprzeczny, a dla \(\displaystyle{ \alpha = 2}\) układ będzie miał dokładnie jedno rozwiązanie.

Q.