Izometrie R^3
Izometrie R^3
Znajdż wzory wszystkich izometrii liniowych T z \(\displaystyle{ R^3}\) w \(\displaystyle{ R^3}\) takich, ze obraz wektora \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-y=z=0}\), obraz wektora \(\displaystyle{ [0,0,1]}\)należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ y=x}\) i przekształcenie to zmienia orientacje przestrzeni. Określ typ tych izometrii.
Ostatnio zmieniony 20 sie 2009, o 14:45 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
Majorkan
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków/Jasło
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 33 razy
Izometrie R^3
Jest takie twierdzenie, które mówi, że wszystkie izometrie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) są złożeniami obrotów (tzn. odwzorowań ortogonalnych) i translacji. Wynika stąd, że izometrie liniowe są obrotami.
Oznaczmy \(\displaystyle{ T=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}}\).
Ponieważ obraz \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) (czyli druga kolumna macierzy T) spełnia równania \(\displaystyle{ x-y=z=0}\) to \(\displaystyle{ a_{32}=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{12}=a_{22}}\).
Z kolei z faktu, że obraz \(\displaystyle{ [0,0,1]}\) (trzecia kolumna) spełnia \(\displaystyle{ y=x}\), mamy \(\displaystyle{ a_{13}=a_{23}}\).
Korzystamy teraz z twierdzenia: T jest obrotem, zatem kolumny T są ortonormalne (iloczyn skalarny danej kolumny z nią samą wynosi 1, zaś dwóch różnych kolumn równa się 0). Dostajemy w ten sposób sporo równań, rozwiązujemy ten układ wykorzystując to co już wiemy o T z warunków zadania.
Wychodzi nam \(\displaystyle{ T=\begin{bmatrix} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}& \pm \frac{\sqrt{2}}{2}&0\\\ \pm \frac{\sqrt{2}}{2}& \pm \frac{\sqrt{2}}{2}&0\\0&0& \pm 1 \end{bmatrix}}\)
Dodatkowo, ponieważ T ma zmieniać orientację, to \(\displaystyle{ \det{T}<0}\).
W sumie zostają cztery możliwości kombinacji plusów i minusów dla T.
Szczegóły obliczeniowe pozostawiam Tobie
Oznaczmy \(\displaystyle{ T=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}}\).
Ponieważ obraz \(\displaystyle{ [0,1,0]}\) (czyli druga kolumna macierzy T) spełnia równania \(\displaystyle{ x-y=z=0}\) to \(\displaystyle{ a_{32}=0}\) oraz \(\displaystyle{ a_{12}=a_{22}}\).
Z kolei z faktu, że obraz \(\displaystyle{ [0,0,1]}\) (trzecia kolumna) spełnia \(\displaystyle{ y=x}\), mamy \(\displaystyle{ a_{13}=a_{23}}\).
Korzystamy teraz z twierdzenia: T jest obrotem, zatem kolumny T są ortonormalne (iloczyn skalarny danej kolumny z nią samą wynosi 1, zaś dwóch różnych kolumn równa się 0). Dostajemy w ten sposób sporo równań, rozwiązujemy ten układ wykorzystując to co już wiemy o T z warunków zadania.
Wychodzi nam \(\displaystyle{ T=\begin{bmatrix} \pm \frac{\sqrt{2}}{2}& \pm \frac{\sqrt{2}}{2}&0\\\ \pm \frac{\sqrt{2}}{2}& \pm \frac{\sqrt{2}}{2}&0\\0&0& \pm 1 \end{bmatrix}}\)
Dodatkowo, ponieważ T ma zmieniać orientację, to \(\displaystyle{ \det{T}<0}\).
W sumie zostają cztery możliwości kombinacji plusów i minusów dla T.
Szczegóły obliczeniowe pozostawiam Tobie