podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie

[Atraktor]

Niech U, W ,Z będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ U \cap W=Z}\)to \(\displaystyle{ dimU + dimW=dimV+dimZ}\)

[Zordon]

Niech U, W ,Z będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ U \cap W=Z}\)to \(\displaystyle{ dimU + dimW=dimV=dimZ}\)

nie powinno być:
\(\displaystyle{ dimU + dimW-dimV=dimZ}\)?

[Atraktor]

Tak,powinno być tak jak napisałeś, już poprawiłem ten zapis. tylko jak to teraz uzasadnić?

[Zordon]

Dalej jest źle moim zdaniem, teraz dopiero zauważyłem, jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3}\), a \(\displaystyle{ U,W}\) to przestrzenie zerowe, to się nie zgadza.


Napiszę jak to twierdzenie powinno wyglądać: (i pod tą postacią jest najbardziej znane):

Niech \(\displaystyle{ V, W}\) będą podprzestrzeniami liniowymi pewnej skończonej przestrzeni liniowej. Wtedy:
\(\displaystyle{ dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V \cap W)}\)

Dowód jest trochę kłopotliwy w zapisie, dlatego dam wskazówkę.

Weź najpierw bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V \cap W}\), dopełnij ją najpierw do bazy \(\displaystyle{ V}\), następnie dopełnij do bazy \(\displaystyle{ W}\), potem udowodnij, że te wszystkie wektory łącznie tworzą bazę \(\displaystyle{ V+W}\).

[Atraktor]

To zadanie miałem na egzaminie z algebry, nikt się nie dopominał, że jest w nim błąd.

[miodzio1988]

To zadanie miałem na egzaminie z algebry, nikt się nie dopominał, że jest w nim błąd.

W takim razie Zordon dał Ci kontprzykład na to zadanie.

[Zordon]

ogólnie to kłopot jest taki, że \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) mogą "nie wypełniać" całej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (bardziej uczono: V nie jest ich sumą kompleksową), wtedy właśnie ten wzór nie zachodzi.

Jeśli założymy \(\displaystyle{ U+W=V}\) to twierdzenie jest w porządku.