podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie
-
- Użytkownik
- Posty: 670
- Rejestracja: 2 paź 2007, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Grodzisko/Wrocław
- Podziękował: 98 razy
- Pomógł: 37 razy
podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie
Niech U, W ,Z będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ U \cap W=Z}\)to \(\displaystyle{ dimU + dimW=dimV+dimZ}\)
Ostatnio zmieniony 4 sie 2009, o 14:52 przez Atraktor, łącznie zmieniany 1 raz.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie
nie powinno być:Atraktor pisze:Niech U, W ,Z będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Uzasadnij, że jeśli \(\displaystyle{ U \cap W=Z}\)to \(\displaystyle{ dimU + dimW=dimV=dimZ}\)
\(\displaystyle{ dimU + dimW-dimV=dimZ}\)?
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie
Dalej jest źle moim zdaniem, teraz dopiero zauważyłem, jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^3}\), a \(\displaystyle{ U,W}\) to przestrzenie zerowe, to się nie zgadza.
Napiszę jak to twierdzenie powinno wyglądać: (i pod tą postacią jest najbardziej znane):
Niech \(\displaystyle{ V, W}\) będą podprzestrzeniami liniowymi pewnej skończonej przestrzeni liniowej. Wtedy:
\(\displaystyle{ dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V \cap W)}\)
Dowód jest trochę kłopotliwy w zapisie, dlatego dam wskazówkę.
Weź najpierw bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V \cap W}\), dopełnij ją najpierw do bazy \(\displaystyle{ V}\), następnie dopełnij do bazy \(\displaystyle{ W}\), potem udowodnij, że te wszystkie wektory łącznie tworzą bazę \(\displaystyle{ V+W}\).
Napiszę jak to twierdzenie powinno wyglądać: (i pod tą postacią jest najbardziej znane):
Niech \(\displaystyle{ V, W}\) będą podprzestrzeniami liniowymi pewnej skończonej przestrzeni liniowej. Wtedy:
\(\displaystyle{ dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V \cap W)}\)
Dowód jest trochę kłopotliwy w zapisie, dlatego dam wskazówkę.
Weź najpierw bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V \cap W}\), dopełnij ją najpierw do bazy \(\displaystyle{ V}\), następnie dopełnij do bazy \(\displaystyle{ W}\), potem udowodnij, że te wszystkie wektory łącznie tworzą bazę \(\displaystyle{ V+W}\).
podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie
W takim razie Zordon dał Ci kontprzykład na to zadanie.Atraktor pisze:To zadanie miałem na egzaminie z algebry, nikt się nie dopominał, że jest w nim błąd.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
podprzestrzenie, przestrzenie, uzasadnienie
ogólnie to kłopot jest taki, że \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) mogą "nie wypełniać" całej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (bardziej uczono: V nie jest ich sumą kompleksową), wtedy właśnie ten wzór nie zachodzi.
Jeśli założymy \(\displaystyle{ U+W=V}\) to twierdzenie jest w porządku.
Jeśli założymy \(\displaystyle{ U+W=V}\) to twierdzenie jest w porządku.