wartości i przestrzenie własne

[Atraktor]

Przekształcenie \(\displaystyle{ F: M_{5 \times 5} \rightarrow M_{5 \times 5}}\) zadane jest wzorem \(\displaystyle{ F(A) = A ^{T} +7A}\). Uzasadnij, że 6 i 8 są wartościami własnymi przekształcenia F i opisz przestrzenie własne dla tych wartości własnych. czy istnieją inne wartości własne?

[Zordon]

No to rachujemy:

Sprawdzimy, czy są wektory będące wektorami własnymi dla 6:

\(\displaystyle{ F(A)=6A}\)
\(\displaystyle{ A^T+7A=6A}\)
\(\displaystyle{ A^T=-A}\)
czyli wszystkie macierze antysymetryczne są wektorami własnymi dla wartości własnej 6. Przestrzenią własną są macierze antysymetryczne.

Dla 8:
\(\displaystyle{ F(A)=8A}\)
\(\displaystyle{ A^T+7A=8A}\)
\(\displaystyle{ A^T=A}\)

przestrzenią własną są więc macierze symetryczne.

Zastanówmy się teraz czy są inne wartości własne \(\displaystyle{ \lambda}\), musi wtedy zachodzić:

\(\displaystyle{ F(A)=\lambda A}\) dla pewnej niezerowej macierzy A.
\(\displaystyle{ A^T+7A=\lambda A}\)
\(\displaystyle{ A^T=(\lambda-7) A}\)
łatwo zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda \neq 6,8}\) to równanie jest spełnione jedynie dla \(\displaystyle{ A=0}\). Stąd wnioskujemy, że nie ma innych wartości własnych.

[Amino2009]

dlaczego równanie jest spełnione jedynie dla A=0??

[Zordon]

dlaczego równanie jest spełnione jedynie dla A=0??

rozważ najpierw elementy na przekątnej, a potem pozostałe w macierzy A, i będzie widać dlaczego.