Znajdź wzory wszystkich izometrii liniowych \(\displaystyle{ T : R^3 \rightarrow R^3}\) takich, że obraz wektora [0,1,0] leży na prostej o równaniu \(\displaystyle{ x-y=z=0}\) , obraz wektora [0,1,0] należy do płaszczyzny \(\displaystyle{ y=x}\) i przekształcenie to zmienia orientację przestrzeni. Określ typ tych izometrii.
Proszę o dokładne wytłumaczenie zadania;)
Izometria - znajdz wzór
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Izometria - znajdz wzór
Nie robiłem tego typu zadań ale może coś się wymyśli.
\(\displaystyle{ A=(a_{ij})}\) - nasza szukana izometria (macierz 3x3).
Z def izometrii
\(\displaystyle{ ||(a_{12},a_{22},a_{32})^T||=||A(0,1,0)^T||=||(0,1,0)^T||=1}\).
Z warunku zadania
\(\displaystyle{ a_{32}=0,\ a_{12}=a_{22}}\) a z powyższego \(\displaystyle{ 2a^2_{12}=1 \Leftrightarrow a_{12}= \pm \sqrt2/2}\).
Każda izometria ma własność \(\displaystyle{ A^T A=I}\) stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a_{11}=-a_{21},\ a_{13}=-a_{23}}\) a stąd \(\displaystyle{ a^2_{31}=1-2a^2_{11},\ a^2_{33}=1-2a^2_{13}}\).
Trzeba jakoś skorzystać z założenia o orientacji, ale nie wiem jak?
PS: Skoro obraz \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) leży na danej prostej to oczywiste, że należy do \(\displaystyle{ x=y}\).
\(\displaystyle{ A=(a_{ij})}\) - nasza szukana izometria (macierz 3x3).
Z def izometrii
\(\displaystyle{ ||(a_{12},a_{22},a_{32})^T||=||A(0,1,0)^T||=||(0,1,0)^T||=1}\).
Z warunku zadania
\(\displaystyle{ a_{32}=0,\ a_{12}=a_{22}}\) a z powyższego \(\displaystyle{ 2a^2_{12}=1 \Leftrightarrow a_{12}= \pm \sqrt2/2}\).
Każda izometria ma własność \(\displaystyle{ A^T A=I}\) stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a_{11}=-a_{21},\ a_{13}=-a_{23}}\) a stąd \(\displaystyle{ a^2_{31}=1-2a^2_{11},\ a^2_{33}=1-2a^2_{13}}\).
Trzeba jakoś skorzystać z założenia o orientacji, ale nie wiem jak?
PS: Skoro obraz \(\displaystyle{ (0,1,0)}\) leży na danej prostej to oczywiste, że należy do \(\displaystyle{ x=y}\).
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Izometria - znajdz wzór
Po podpowiedzi można dokończyć.
Podsumowując dostajemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{22}&a_{13}\\-a_{11}&a_{22}&-a_{13}\\c_{31}
\sqrt{1-2a^2_{11}}&0&c_{33} \sqrt{1-2a^2_{13}}\end{array}\right],\ c_{31},c_{33}\in \{ -1,1 \}}\).
Dalej z własności \(\displaystyle{ A A^T=I}\) (mnożąc I wiersz razy I kolumnę) można uzyskać
\(\displaystyle{ a^2_{11}+a^2_{13}=1/2}\), czyli macierz będzie postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{22}&c_{13} \sqrt{1/2-a^2_{11}}\\-a_{11}&a_{22}&-c_{13} \sqrt{1/2-a^2_{11}}\\c_{31} \sqrt{1-2a_^2{11}}&0&c_{33} |a_{11}|\end{array}\right],\ c_{13},c_{31},c_{33}\in \{ -1,1 \}}\).
Z \(\displaystyle{ A A^T=I}\) (mnożąc III wiersz razy I kolumnę) mamy \(\displaystyle{ c_{31} \sqrt{1-2a^2_{11}}
a_{11}+c_{33} |a_{11}| c_{13} \sqrt{1/2-a^2_{11}}=0}\). Można podzielić przez \(\displaystyle{ \sqrt{1/2-a^2_{11}}=0}\) (gdyby \(\displaystyle{ a_{11}=\sqrt2 /2}\) to otrzymalibyśmy sprzeczność z własnością \(\displaystyle{ A^T A=I}\) (mnożąc III wiersz razy III kolumnę)) otrzymując
\(\displaystyle{ \sqrt2 c_{31} a_{11}+c_{33} |a_{11}| c_{13}=0}\) a to równanie spełnia tylko \(\displaystyle{ a_{11}=0}\).
Teraz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&a_{22}&c_{13} \sqrt2 /2\\0&a_{22}&-c_{13} \sqrt2 /2\\c_{31}&0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&c_{22} \sqrt2 /2&c_{13} \sqrt2
/2\\0&c_{22} \sqrt2 /2&-c_{13} \sqrt2 /2\\c_{31}&0&0\end{array}\right],\ c_{13},c_{22},c_{31}\in \{ -1,1 \}}\).
Korzystając z \(\displaystyle{ A^T A=I}\) dostajemy \(\displaystyle{ \det A=\pm 1}\) ale z przeciwnej orientacji
\(\displaystyle{ \det A=-1}\). Wyliczjąc \(\displaystyle{ \det A}\) i przyrównując do -1 mamy \(\displaystyle{ c_{13} c_{22} c_{31}=1}\).
Dostaliśmy szukane wzory izometrii, teraz trzeba sprawdzić czy zachodzi dla nich \(\displaystyle{ ||Ax||=||x||}\) - jak będziesz miał z tym problem to pytaj.
Podsumowując dostajemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{22}&a_{13}\\-a_{11}&a_{22}&-a_{13}\\c_{31}
\sqrt{1-2a^2_{11}}&0&c_{33} \sqrt{1-2a^2_{13}}\end{array}\right],\ c_{31},c_{33}\in \{ -1,1 \}}\).
Dalej z własności \(\displaystyle{ A A^T=I}\) (mnożąc I wiersz razy I kolumnę) można uzyskać
\(\displaystyle{ a^2_{11}+a^2_{13}=1/2}\), czyli macierz będzie postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{22}&c_{13} \sqrt{1/2-a^2_{11}}\\-a_{11}&a_{22}&-c_{13} \sqrt{1/2-a^2_{11}}\\c_{31} \sqrt{1-2a_^2{11}}&0&c_{33} |a_{11}|\end{array}\right],\ c_{13},c_{31},c_{33}\in \{ -1,1 \}}\).
Z \(\displaystyle{ A A^T=I}\) (mnożąc III wiersz razy I kolumnę) mamy \(\displaystyle{ c_{31} \sqrt{1-2a^2_{11}}
a_{11}+c_{33} |a_{11}| c_{13} \sqrt{1/2-a^2_{11}}=0}\). Można podzielić przez \(\displaystyle{ \sqrt{1/2-a^2_{11}}=0}\) (gdyby \(\displaystyle{ a_{11}=\sqrt2 /2}\) to otrzymalibyśmy sprzeczność z własnością \(\displaystyle{ A^T A=I}\) (mnożąc III wiersz razy III kolumnę)) otrzymując
\(\displaystyle{ \sqrt2 c_{31} a_{11}+c_{33} |a_{11}| c_{13}=0}\) a to równanie spełnia tylko \(\displaystyle{ a_{11}=0}\).
Teraz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&a_{22}&c_{13} \sqrt2 /2\\0&a_{22}&-c_{13} \sqrt2 /2\\c_{31}&0&0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&c_{22} \sqrt2 /2&c_{13} \sqrt2
/2\\0&c_{22} \sqrt2 /2&-c_{13} \sqrt2 /2\\c_{31}&0&0\end{array}\right],\ c_{13},c_{22},c_{31}\in \{ -1,1 \}}\).
Korzystając z \(\displaystyle{ A^T A=I}\) dostajemy \(\displaystyle{ \det A=\pm 1}\) ale z przeciwnej orientacji
\(\displaystyle{ \det A=-1}\). Wyliczjąc \(\displaystyle{ \det A}\) i przyrównując do -1 mamy \(\displaystyle{ c_{13} c_{22} c_{31}=1}\).
Dostaliśmy szukane wzory izometrii, teraz trzeba sprawdzić czy zachodzi dla nich \(\displaystyle{ ||Ax||=||x||}\) - jak będziesz miał z tym problem to pytaj.
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Izometria - znajdz wzór
\(\displaystyle{ ||A\textbf{x}||=||(c_{22} \frac{\sqrt2}{2} y + c_{13} \frac{\sqrt2}{2} z,c_{22} \frac{\sqrt2}{2} y -c_{13} \frac{\sqrt2}{2} z,c_{31} x)^T||
=\sqrt{(c_{22} \frac{\sqrt2}{2} y + c_{13} \frac{\sqrt2}{2} z)^2+(c_{22} \frac{\sqrt2}{2} y -c_{13} \frac{\sqrt2}{2} z)^2+(c_{31} x)^2}
=\sqrt{(\frac{1}{2}y^2+c_{22} c_{13} \frac{1}{2} yz+\frac{1}{2}z^2)+(\frac{1}{2}y^2-c_{22} c_{13} \frac{1}{2} yz+\frac{1}{2}z^2)+x^2}=||\textbf{x}||,\ \textbf{x}=(x,y,z)^T}\)
=\sqrt{(c_{22} \frac{\sqrt2}{2} y + c_{13} \frac{\sqrt2}{2} z)^2+(c_{22} \frac{\sqrt2}{2} y -c_{13} \frac{\sqrt2}{2} z)^2+(c_{31} x)^2}
=\sqrt{(\frac{1}{2}y^2+c_{22} c_{13} \frac{1}{2} yz+\frac{1}{2}z^2)+(\frac{1}{2}y^2-c_{22} c_{13} \frac{1}{2} yz+\frac{1}{2}z^2)+x^2}=||\textbf{x}||,\ \textbf{x}=(x,y,z)^T}\)