przestrzeń C^n

[po_omacku]

Mam zadanie: znajdź bazę i wymiar przestrzeni
a) \(\displaystyle{ \mathbb {C} ^{n} ( \mathbb {C} )}\)
b) \(\displaystyle{ \mathbb {C} ^{n} ( \mathbb {R} )}\)
Niby umiem zrobić, sęk w tym, że wychodzi mi 2n dla a) i n dla b) a wiem, że powinno być odwrotnie..
Dlatego prosze o wyjaśnienie jak to zrobić.
Poza tym jesli mam np sprawdzić, czy wektory \(\displaystyle{ u_{1}=(1,i,2i) \ u_{2}=(-1,-i,i) \ u_{3}=(1,1,1)}\) są liniowo niezalezne, to co robimy w przypadku, gdy mamy przestrzen z a), a co gdy z b) ?

[miodzio1988]

Najpierw liniowa niezależność. Co to znaczy, że wektory są liniowo niezależne? Podaj definicje? Jest łatwy sposob zeby to sprawdzic(coś związanego z macierzą)

[po_omacku]

no ja wiem ze wystarczy sprawdzic, czy wyznacznik macierzy wspolrzednych jest rowny 0 czy nie, ale jaki to ma zwiazek z tym, czy przestrzen jest nad cialem R czy C?

[miodzio1988]

Gdybyś podał definicje to byś zobaczył, że jest ta mowa o skalarach. A skąd bierzemy te skalary? Z odpowiedniego ciała, nie? No i tutaj masz dwa przypadki- dwa ciała.

[po_omacku]

no właśnie - i dlatego, w b robię tak:
\(\displaystyle{ w=(z_{1},z_{2},...,z_{n}) \in \mathbb{C} ^{n} \\
w=(z_{1},...,z_{n}) = z_{1}(1,0,...,0) + z_{2}(0,1,0,...,0)+...+z_{n}(0,0,...,0,1) \\
z_{1},z_{2},...,z_{n} \in \mathbb{R} \\
\mathbb{C} ^{n} (\mathbb{R}) = lin\{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)\} \\
dim \mathbb {C} ^{n} (\mathbb{R}) = n}\)
No i jest źle bo n ma wyjsc, kiedy liczymy nad cialem liczb zespolonych
Licząc podpunkt a) mysle, ze trzeba rozłożyć te \(\displaystyle{ z_{1},z_{2},...,z_{n}}\) na \(\displaystyle{ z_{i}=x_{i} + iy_{i}}\), wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{C} ^{n} (\mathbb{C})= lin\{(1,0,...,0),(i,0,...,0)(0,1,...,0),(0,i,0,...,0)...,(0,0,...,1),(0,0,...,i)\} \\
dim \mathbb{C} ^{n} (\mathbb{C}) = 2n}\)
No a ma byc dokladnie odwrotnie

[xiikzodz]

Bazą przetrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) jest np. układ \(\displaystyle{ (1,0,\ldots,0),\ldots(0,\ldots 1)}\), bo każdy element \(\displaystyle{ (z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb{C}^n}\), czyli dla \(\displaystyle{ z_i\in\mathbb{C}}\) (!) można jednoznacznie zapisać jako kombinację elementów tyego układu, mianowicie :

\(\displaystyle{ (z_1,\ldots,z_n)=z_1\cdot(1,\ldots,0)+\ldots+z_n\cdot(0,\ldots,1)}\).

Jeśli chodzi o wymiar nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), to można zauważyć, że \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) jest przestrzenią wymiaru 2 nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), czyli istnieje epimorfizm (np. brania części rzeczywistej) \(\displaystyle{ \mathbb{C}\to\mathbb{R}}\), którego jądrem jest przestrzeń wymiaru 1 nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), zaś ten epimorfizm można rozszerzyć po współrzędnych do epimorfizmu produktów \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n\to\mathbb{R}^n}\), którego jądrem jest produkt jąder, co onacza izomorfizm przestrzeni liniowych nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n}\)

[liu]

\(\displaystyle{ \mathbb{C} ^{n} (\mathbb{R}) = lin\{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)\}}\)
To nie jest prawda. Wektor \(\displaystyle{ (i,0,\ldots,0) \notin lin_{\mathbb{R}}\{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)\}}\).

\(\displaystyle{ \mathbb{C}^n(\mathbb{C} = lin \{ (1,0, \ldots, 0), (i,0, \ldots, 0) , \ldots \}}\)
To nie jest prawda. Ten układ wektorów nie jest liniowo niezależny:
\(\displaystyle{ i(1,0, \ldots, 0) - (i,0, \ldots, 0) = 0.}\)