Funkcja podobna do wyznacznika

[Wasilewski]

Mamy funkcję \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\), taką że \(\displaystyle{ f(0) = 0}\). Pokazać, że istnieje dokładnie jedna funkcja \(\displaystyle{ D: M_{n}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ M_{n}(\mathbb{R})}\) to zbiór macierzy kwadratowych stopnia n, o następujących własnościach:
1) Jeśli jedna z kolumn macierzy A jest zerowa, to \(\displaystyle{ D(A) = 0}\).
2) Jeśli A' otrzymuje się z A za pomocą operacji elementarnej na kolumnach, to \(\displaystyle{ D(A') = D(A)}\).
3) Jeśli A jest macierzą diagonalną \(\displaystyle{ \mbox{diag}(\lambda, 1, 1, \ldots, 1)}\), to \(\displaystyle{ D(A) = f(\lambda)}\).
Z pomocą własności 2) można sprowadzić macierz do postaci diagonalnej, kombinacja własności 1) i 2) daje nam wniosek, że dla macierzy o dwóch jednakowych kolumnach \(\displaystyle{ D(A) = 0}\). Również własność 2) pokaże nam, że można wyciągnąć (-1) przed dwa wiersze naraz, nie zmieniając wartości funkcji, można też przestawić dwie kolumny, przy okazji mnożąc jedną przez (-1). Na razie niestety tylko tyle wymyśliłem.
Ogólnie preferuję wskazówki, a nie całe rozwiązania, ale rozumiem, że czasem trudno sensownie podpowiedzieć.

[miodzio1988]

Nie jest to trochę przerobiona aksjomatyczna definicja wyznacznika?

\(\displaystyle{ Twierdzenie}\)
Niech \(\displaystyle{ D: P^{n} _{n} \rightarrow P}\) będzie funkcją spełniającą warunki:
1) \(\displaystyle{ D}\) jest jednorodną funkcją kolumn macierzy
2) \(\displaystyle{ D}\) jest addytywną funkcją kolumn macierzy
3) Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest macierzą \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ c ^{j}(X)=c ^{j+1}(X)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ j}\) to \(\displaystyle{ D(X)=0}\)
4)\(\displaystyle{ D( I_{n} )=1}\)

Wtedy \(\displaystyle{ D(A)=DetA}\) dla każdej \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\) nad \(\displaystyle{ P}\).

Z powyższego twierdzenia wynika, że można zdefiniować wyznacznik jako jedyną funkcję z \(\displaystyle{ P^{n} _{n}}\) do\(\displaystyle{ P}\) spełniajacą warunki \(\displaystyle{ 1-4}\)

Oznaczenia:
\(\displaystyle{ P}\)- pierścień
\(\displaystyle{ c}\)-kolumna
\(\displaystyle{ I_{n}}\)- macierz jednostkowa \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n}\)
Jak udownisz, że te 4 punkty zachodzą (za pomocą 3 swoich ) to zadanie masz z głowy.Z algebry jestem cieniutki, więc nie sugeruj się moimi wypowiedziami zbytnio (vide ostatni temat )

[Wasilewski]

Jest na tyle przerobiona, że aż trochę inna. ;] W treści jeszcze było podane, że dla \(\displaystyle{ f(\lambda) = \lambda}\) funkcja \(\displaystyle{ D}\) pokrywa się z wyznacznikiem, co sugeruje, że dla innych postaci funkcji f są pewne różnice.
Poza tym dość trudne wydaje mi się pokazanie, że ta funkcja jest liniowa względem kolumn, a bez tego też trudno pokazać, że jest antysymetryczna; problem może też stanowić to, że niekoniecznie jest to prawda.

[miodzio1988]

No to czekamy na maxa . Ja się w algebre nie bawię do września, więc rozumiesz

[max]

Przy odpowiednio zdefiniowanych operacjach elementarnych na macierzach zadanie sprowadza się do pokazania, że każdą macierz za pomocą takich operacji można przekształcić do macierzy w postaci takiej jak w 3).
Ponieważ przy standardowo pojętych operacjach elementarnych teza jest nieprawdziwa, więc na razie nic więcej nie mogę napisać. Mogę tylko spytać, czy nie chodzi przypadkiem o takie operacje:
a) Dodanie do jednej z kolumn kombinacji liniowej pozostałych.
b) Przemnożenie jednej z kolumn przez niezerowy skalar i jednocześnie innej kolumny przez odwrotność tego skalara.
c) Zamiana miejscami dwóch kolumn przy zamianie znaków wyrazów jednej z nich.
Wtedy umiem to zrobić.

[Wasilewski]

Chodzi tu o operacje typu a), ale wydaje mi się, że pozostałe własności da się udowodnić. W każdym razie wydaje mi się, że jednak teza jest prawdziwa. Każdą macierz możemy za pomocą operacji elementarnych na kolumnach sprowadzić albo do macierzy diagonalnej, albo do macierzy o przynajmniej jednej zerowej kolumnie. Zatrzymajmy się na pierwszym przypadku. Mamy macierz \(\displaystyle{ \mbox{diag}(a_{1},a_{2}, \ldots, a_{n})}\). Teraz nie chce mi się pisać macierzy, zatem opiszę słownie co robimy; dodajemy do pierwszej kolumny ostatnią pomnożoną przez \(\displaystyle{ \frac{1}{a_{n}}}\). Teraz od ostatniej odejmujemy pierwszą pomnożoną przez \(\displaystyle{ (a_{n}-1)}\). Od pierwszej odejmujemy ostatnią, i na koniec od ostatniej odejmujemy pierwszą pomnożoną przez taki czynnik, żeby wyzerować element \(\displaystyle{ a_{1n}}\). Z moich rachunków wynika, że w ten sposób przekształcamy macierz do postaci \(\displaystyle{ \mbox{diag}(a_{1}a_{n}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}, 1)}\). Teraz w ten sam sposób postępujemy dla kolejnych kolumn, aż dojdziemy do postaci: \(\displaystyle{ \mbox{diag}(A_{n}, 1, \ldots, 1)}\), gdzie \(\displaystyle{ A_{n} = \prod_{i=1}^{n} a_{i}}\), a więc w myśl własności 3) mamy: \(\displaystyle{ D(A) = f(A_{n})}\). Oczywiście, żeby sprowadzić do postaci diagonalnej, to musimy mieć możliwość przestawiania kolumn (ze zmianą znaku), ale to można prosto uzasadnić (chcemy zamienić kolumnę \(\displaystyle{ A_{j} \ z \ A_{k}}\)): dodajemy \(\displaystyle{ A_{j} \ do \ A_{k}}\), odejmujemy \(\displaystyle{ A_{k}'}\) od \(\displaystyle{ A_{j}}\) i tak otrzymaną kolumnę dodajemy do \(\displaystyle{ A_{k}'}\).

[max]

Chodziło mi o to, że za operację elementarną uznaje się czasem np przemnożenie jednej z kolumn przez niezerowy skalar. Wtedy teza jest nieprawdziwa. Stąd moje pytanie (faktycznie wychodzi na to, że b) i c) wynikają z a)), ale w międzyczasie się udało zadanie zrobić:)
W zasadzie wartość \(\displaystyle{ f(0)}\) nas nie obchodzi jeśli dorzucimy w 3), że \(\displaystyle{ \lambda \neq 0.}\)

[Wasilewski]

Racja, mogłem to trochę dokładniej opisać. Chociaż nie wiem, czy operacja elementarna typu (II) to powszechnie używane określenie.