twierdzenie Cayley - Hamiltona

[Przemas O'Black]

Proszę o wyjaśnienie twierdzenia:

"Dowolna macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swego równania charakterystycznego".

Przykład:
\(\displaystyle{ a_{11} = 2, a _{12} = 1, a _{21} = 1, a_{22} = 5}\)

Równanie charakterystyczne macierzy A:
\(\displaystyle{ a^{2} - 7a + 9 = 0}\)
gdzie a = lambda

Z powyższego twierdzenia wynikałoby, że \(\displaystyle{ A^{2} - 7 A + 9I = O}\)
I - macierz jednostkowa, O - macierz zerowa.

Podstawiając pod A macierz kwadratową o elementach \(\displaystyle{ a_{11} = 2, a _{12} = 1, a _{21} = 1, a_{22} = 5}\) nie wychodzi wcale macierz zerowa. Jak w takim razie rozumieć twierdzenie Cayley - Hamiltona?

[Zordon]

Mi wychodzi macierz zerowa Masz gdzieś błąd w rachunkach. Właśnie tak nalezy rozumieć to twierdzenie.

[Przemas O'Black]

To może ja napiszę po kolei jak liczę.

A*A - 7A +9I =

[2 1] * [2 1] - 7* [2 1] + 9* [1 0] =
[1 5] * [1 5] - 7* [1 5] + 9* [0 1]

[2*2+1*1 2*1+1*5] - [14 7] + [9 0] =
[1*2+5*1 1*1+5*5] - [7 35] + [0 9]

[5 7] - [14 7] + [9 0] =
[7 26] - [7 35]+ [0 9]

[5-14+9 7-7+0] =
[7-7+0 26-35+9]

[0 0]
[0 0]

[miki999]

\(\displaystyle{ = 130 - 49 - 490 + 49 + 81 = -279}\)

Co to jest? W ostatnim kroku dokonaj normalne odejmowanie i dodawanie macierzy. Dziwnym zbiegiem okoliczności wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)


Pozdrawiam.

[Przemas O'Black]

zecywiście
edytowalem