Proszę o wyjaśnienie twierdzenia:
"Dowolna macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swego równania charakterystycznego".
Przykład:
\(\displaystyle{ a_{11} = 2, a _{12} = 1, a _{21} = 1, a_{22} = 5}\)
Równanie charakterystyczne macierzy A:
\(\displaystyle{ a^{2} - 7a + 9 = 0}\)
gdzie a = lambda
Z powyższego twierdzenia wynikałoby, że \(\displaystyle{ A^{2} - 7 A + 9I = O}\)
I - macierz jednostkowa, O - macierz zerowa.
Podstawiając pod A macierz kwadratową o elementach \(\displaystyle{ a_{11} = 2, a _{12} = 1, a _{21} = 1, a_{22} = 5}\) nie wychodzi wcale macierz zerowa. Jak w takim razie rozumieć twierdzenie Cayley - Hamiltona?
twierdzenie Cayley - Hamiltona
- Przemas O'Black
- Użytkownik
- Posty: 744
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 58 razy
- Przemas O'Black
- Użytkownik
- Posty: 744
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 58 razy
twierdzenie Cayley - Hamiltona
To może ja napiszę po kolei jak liczę.
A*A - 7A +9I =
[2 1] * [2 1] - 7* [2 1] + 9* [1 0] =
[1 5] * [1 5] - 7* [1 5] + 9* [0 1]
[2*2+1*1 2*1+1*5] - [14 7] + [9 0] =
[1*2+5*1 1*1+5*5] - [7 35] + [0 9]
[5 7] - [14 7] + [9 0] =
[7 26] - [7 35]+ [0 9]
[5-14+9 7-7+0] =
[7-7+0 26-35+9]
[0 0]
[0 0]
A*A - 7A +9I =
[2 1] * [2 1] - 7* [2 1] + 9* [1 0] =
[1 5] * [1 5] - 7* [1 5] + 9* [0 1]
[2*2+1*1 2*1+1*5] - [14 7] + [9 0] =
[1*2+5*1 1*1+5*5] - [7 35] + [0 9]
[5 7] - [14 7] + [9 0] =
[7 26] - [7 35]+ [0 9]
[5-14+9 7-7+0] =
[7-7+0 26-35+9]
[0 0]
[0 0]
Ostatnio zmieniony 15 lip 2009, o 16:00 przez Przemas O'Black, łącznie zmieniany 1 raz.
- miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
twierdzenie Cayley - Hamiltona
Co to jest? W ostatnim kroku dokonaj normalne odejmowanie i dodawanie macierzy. Dziwnym zbiegiem okoliczności wychodzi:\(\displaystyle{ = 130 - 49 - 490 + 49 + 81 = -279}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\right]}\)
Pozdrawiam.
- Przemas O'Black
- Użytkownik
- Posty: 744
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 58 razy